[论文解读] On the dynamics of lattice systems with unbounded on-site terms in the Hamiltonian

Bruno Nachtergaele, Robert Sims|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Quantum many-body systems参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文為哈密顿量中具有无界局域项的量子格系统提供了严格的数学基础，以确立莱布-罗宾森界和热力学极限的存在性。通过弥补早期工作中关于强连续性、可测性及算子值演化方程的漏洞，证明了即使在具有无界相互作用的无限系统中，动力学依然保持良好定义且局域，方法是利用对换位子增长和支撑扩展的精细估计。

ABSTRACT

We supply the mathematical arguments required to complete the proofs of two previously published results: Lieb-Robinson bounds for the dynamics of quantum lattice systems with unbounded on-site terms in the Hamiltonian and the existence of the thermodynamic limit of the dynamics of such systems.

研究动机与目标

• 纠正先前关于哈密顿量中具有无界局域项的量子格系统动力学证明中的基础性漏洞。
• 确立此类系统海森堡动力学的热力学极限存在性，确保无限体积动力学的良好定义。
• 解决涉及无界生成元的算子值函数微积分问题，特别是强连续性、可测性及可微性问题。
• 为具有无界局部哈密顿量的系统，提供莱布-罗宾森型界完整且数学严谨的推导。
• 通过在无限维希尔伯特空间和无界算子的背景下补充缺失的技术论证，确保[11]和[12]中先前结果的有效性。

提出的方法

• 在可分希尔伯特空间上有界线性算子空间中，使用强连续且可微的算子值函数来建模量子系统中的时间演化。
• 应用一致有界性原理，以确立强连续算子值函数的局部有界性。
• 采用弱可测性和强可测性准则，以证明算子值函数时间积分的存在性。
• 通过莱布-罗宾森型估计推导换位子的范数界，特别是对海森堡动力学下支撑扩展的增长进行限制。
• 将相互作用项分离为保持和扩展可观测量支撑的两类，从而分别估计其动力学效应。
• 使用过度计数论证并按空间距离求和，以控制涉及非重叠支撑的换位子的范数，利用衰减函数 $ F(d(x,y)) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在热力学极限下严格定义具有无界局域项的量子格系统动力学？
• RQ2 何种数学条件可确保由无界生成元引发的时间演化中出现的算子值函数的强连续性和可测性？
• RQ3 如何将莱布-罗宾森界推广至局部哈密顿量为无界自伴算子的系统？
• RQ4 当哈密顿量无界时，如何正确估计有限支撑可观测量在海森堡动力学下换位子的增长？
• RQ5 当局部哈密顿量无界时，如何建立有限体积动力学向无限体积动力学的收敛性？

主要发现

• 本文确立了具有无界局域项的量子格系统动力学在热力学极限下具有良好定义的极限，解决了早期工作中的关键漏洞。
• 证明了莱布-罗宾森界适用于具有无界局部哈密顿量的系统，其中换位子范数的界随时间呈指数增长，但随空间分离而衰减。
• 证明了时间演化可观测量的范数在系统尺寸上一致有界，确保了有限体积近似下动力学的稳定性。
• 证明表明，随着体积增大，不同区域 $ ilde{ au}_{t, ext{int}}^{ ilde{ au}} $ 上有限体积动力学之间的差异趋于零，误差由 $ C T orm{A} orm{ ilde{ au}} orm{ ilde{ au}} imes ext{对远处点的 } F(d(x,y)) \text{ 求和} $ 有界。
• 作者推导出换位子范数的定量界：$ norm{[ au_{t-s}^{ ilde{ au}}( ilde{A}(t)), ilde{ au}(Z,s)]} \leq \frac{2\norm{A}\norm{\tilde{\tau}(Z)}}{C} e^{2C\norm{\tilde{\tau}}T} \sum_{x\in X} \sum_{z\in Z} F(d(x,z)) $，该界随距离衰减。
• 证明表明动力学收敛在紧致时间区间上是一致的，误差项由相互作用项的空间衰减和 $ F(d(x,y)) $ 的可 summability 控制。