[论文解读] On the edge metric dimension for the random graph

Nina Zubrilina|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的渐近边度量维数，表明 $\operatorname{edim}(G(n,p)) = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$，其中 $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$。通过概率方法和随机顶点集的边区分性质，作者通过分析随机顶点集无法区分边对的概率，推导出该结果，将先前关于度量维数的研究扩展至边度量设定。

ABSTRACT

Let $G(V, E)$ be a connected simple undirected graph. In this paper we prove that the edge metric dimension (introduced by Kelenc, Tratnik and Yero) of the Erdős-Rényi random graph $G(n, p)$ is given by: $$ extrm{edim}(G(n, p)) = (1 + o(1))\frac{4\log(n)}{\log(1/q)},$$ where $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$.

研究动机与目标

• 确定常数 $p \in (0,1)$ 下 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的渐近边度量维数。
• 将先前用于度量维数研究中的概率方法扩展至边度量维数设定。
• 表征大小为 $r$ 的随机顶点集在渐近几乎必然意义上区分 $G(n,p)$ 中所有边对的阈值。
• 将边度量维数与经典度量维数进行比较，表明对所有常数 $p$，有 $\dim(G(n,p)) < \operatorname{edim}(G(n,p))$ a.a.s.。

提出的方法

• 应用概率方法，证明大小为 $r = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ 的随机顶点集渐近几乎必然构成边基。
• 定义 $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$ 为一个在所有顶点中均匀随机选取的顶点无法区分一对随机不相交边的概率。
• 将边对划分为相交与不相交两类，并表明不相交对在渐近分析中占主导地位。
• 利用独立性和 $q^r$ 的指数衰减，界定随机顶点集无法区分任意边对的概率。
• 通过一阶与二阶矩方法估计未被区分的边对的期望数量，表明当 $n \to \infty$ 时该值趋于零。
• 应用二阶矩方法，证明边生成集数量的集中性，从而证明其存在概率为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于常数边概率 $p$，Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的渐近边度量维数是多少？
• RQ2 $G(n,p)$ 的边度量维数与其经典度量维数相比如何？
• RQ3 概率方法能否被调整以推导边度量维数的渐近界，类似于其在经典度量维数中的应用？
• RQ4 对于哪些 $p$ 值，$\operatorname{edim}(G(n,p)) > \dim(G(n,p))$ 在渐近几乎必然意义下成立？

主要发现

• $G(n,p)$ 的边度量维数渐近为 $\operatorname{edim}(G(n,p)) = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$，其中 $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$。
• 对于常数 $p \in (0,1)$，边度量维数渐近大于经典度量维数，因为 $\frac{4}{\log(1/q)} > \frac{2}{\log(1/Q)}$，其中 $Q = p^2 + (1-p)^2$。
• 一个在所有顶点中均匀随机选取的顶点无法区分一对随机不相交边的概率渐近为 $q = 1 - 2p(1-p)^2(2-p)$。
• 大小为 $r = (1+o(1))\frac{4\log n}{\log(1/q)}$ 的随机顶点集渐近几乎必然区分 $G(n,p)$ 中的所有边对。
• 大小为 $r$ 的边生成集的期望数量随 $n \to \infty$ 趋于零，确认了该界是紧的。
• 分析证实，对所有常数 $p \in (0,1)$，有 $\operatorname{edim}(G(n,p))$ 严格大于 $\dim(G(n,p))$ a.a.s.。