[论文解读] On the effective cone of $\mathbb{P}^n$ blown-up at $n+3$ points

Maria Chiara Brambilla, Olivia Dumitrescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文计算了在 $ n+3 $ 个一般位置点处进行 blown up 的 $ \mathbb{P}^n $ 上除子的有效锥与可动锥，识别出有理正常曲线、其弦簇及其相关锥作为基点簇的关键组成部分。本文证明了当且仅当这些子簇位于基点簇中时，具有 $ n+3 $ 个一般点的线性系统才是线性特殊的，并提出了一个新预期维数公式，该公式考虑了此类线性障碍。

ABSTRACT

We compute the facets of the effective and movable cones of divisors on the blow-up of $\mathbb{P}^n$ at $n+3$ points in general position. Given any linear system of hypersurfaces of $\mathbb{P}^n$ based at $n+3$ multiple points in general position, we prove that the secant varieties to the rational normal curve of degree $n$ passing through the points, as well as their joins with linear subspaces spanned by some of the points, are cycles of the base locus and we compute their multiplicity. We conjecture that a linear system with $n+3$ points is linearly special only if it contains such subvarieties in the base locus and we give a new formula for the expected dimension.

研究动机与目标

• 确定在 $ \mathbb{P}^n $ 上对 $ n+3 $ 个一般位置点进行 blown up 后，除子的有效锥与可动锥的结构。
• 刻画具有 $ n+3 $ 个一般基点的线性系统之基点簇，识别出有理正常曲线及其弦簇等非线性子簇作为基本组成部分。
• 提出一个新的预期维数公式——线性预期维数 $ \operatorname{ldim}({\mathcal{L}}) $，该公式考虑了特殊线性系统中线性障碍的影响。
• 研究猜想：线性系统仅当其基点簇中包含有理正常曲线或其弦簇时才是线性特殊的。
• 在低维情形（$ n \leq 3 $）及特定齐次线性系统族中验证该猜想。

提出的方法

• 使用基点簇引理（引理 4.1）识别出通过 $ n+3 $ 个一般点的 $ n $ 次有理正常曲线作为线性系统基点簇的组成部分。
• 应用 Cremona 变换理论来约化线性系统并分析其维数，特别使用 Cremona 变换 $ \operatorname{Cr}({\mathcal{L}}) $。
• 引入线性预期维数 $ \operatorname{ldim}({\mathcal{L}}) $ 的概念，该概念将线性循环（例如弦簇）对预期维数的贡献纳入考虑。
• 采用退化技术与迭代 blown-up 中严格变换的上同调分类方法来分析线性系统。
• 使用归纳法与锥构造方法证明关于线性系统族 $ \mathcal{L}(t,a) $ 与 $ \mathcal{L}(b) $ 的结果，通过 Cremona 等价性将其与已知系统关联。
• 应用 Riemann-Roch 公式与虚拟维数公式来计算维数，并与新预期维数进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{P}^n $ 上对 $ n+3 $ 个一般点进行 blown up 后，除子的有效锥与可动锥的面是什么？
• RQ2 除了线性循环外，哪些子簇会迫使线性系统变为特殊？它们在基点簇中如何出现？
• RQ3 猜想是否成立：线性系统仅当其基点簇中包含有理正常曲线或其弦簇时才是线性特殊的？
• RQ4 新提出的线性预期维数 $ \operatorname{ldim}({\mathcal{L}}) $ 是否能准确预测具有 $ n+3 $ 个基点的线性系统的维数？
• RQ5 该线性特殊性猜想对哪些线性系统族成立？能否通过 Cremona 约化与归纳法证明？

主要发现

• 在 $ \mathbb{P}^n $ 上对 $ n+3 $ 个一般点进行 blown up 后，除子的有效锥与可动锥被完全描述，其面对应于有理正常曲线及其弦簇的类。
• 任意具有 $ n+3 $ 个一般基点（重数为 $ m_i $）的线性系统之基点簇均包含通过这些点的 $ n $ 次有理正常曲线及其弦簇，其重数取决于 $ m_i $。
• 当 $ n \leq 3 $ 时，猜想成立：线性系统仅当其基点簇中包含此类子簇时才是线性特殊的，该结论通过 Riemann-Roch 与 Cremona 约化得到验证。
• 系统 $ \mathcal{L}(t,a) = \mathcal{L}_{2t,a(t+1)}((at)^{2t+3}) $ 恰好有一个截面 $ a\sigma_t $，且满足猜想，该结论通过归纳法与 Cremona 约化得到证明。
• 系统 $ \mathcal{L}(b) = \mathcal{L}_{n,b(n+2)}((bn)^{n+3}) $ 在 $ n $ 为偶数时维数为 1，在 $ n $ 为奇数时为空集，且满足猜想。
• 对所有 $ n \geq 2 $ 与 $ d \geq 1 $，系统 $ \mathcal{L}_{n,d}(n^{n+3}) $ 满足猜想，且其维数与线性预期维数 $ \operatorname{ldim}({\mathcal{L}}) $ 一致。