[论文解读] On the effective cone of $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$

Scott Mullane|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文通过分析阿贝尔微分的层析结构，在 $g \geq 2$ 且 $n \geq g+1$ 的情形下，构建了模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中无穷多个极小有效除子。通过紧化层析结构 $\overline{\mathcal{P}}(\kappa)$ 的纤维化构造的覆盖曲线，证明了这些除子在伪有效锥中是极小的，显著推进了对 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 双有理几何的理解。

ABSTRACT

For every $g\geq 2$ and $n\geq g+1$ we exhibit infinitely many extremal effective divisors in $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ coming from the strata of abelian differentials.

研究动机与目标

• 理解 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的伪有效锥结构，这是模空间双有理几何中的一个核心开放问题。
• 利用阿贝尔微分的几何对象，在 $g \geq 2$ 且 $n \geq g+1$ 的情形下，构造 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中新的极小有效除子。
• 通过构造与除子负相交的覆盖曲线，证明这些除子是极小的。
• 推广此前关于 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中极小除子的结果，特别是来自布里尔-诺伊曼、theta 除子及自旋结构的子簇的结果。

提出的方法

• 将除子 $D^n_\kappa \subset \overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 构造为具有类型 $\kappa$ 的全纯或亚纯微分的曲线的闭包，其中 $\kappa$ 是 $2g-2$ 的一个分拆。
• 利用扭 canonical 除子的紧化层析结构 $\overline{\mathcal{P}}(\kappa)$，在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,m-g-1}$ 上定义一个纤维化，从而在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中产生曲线。
• 通过固定 $m-g-1$ 个标记点并让其余 $n$ 个点在层析结构 $\mathcal{P}(\kappa)$ 中变化，定义覆盖曲线类 $B^n_\kappa$。
• 应用判别准则：若覆盖曲线 $B$ 满足 $B \cdot D < 0$，则 $D$ 在伪有效锥中是极小的。
• 利用 [BCGGM] 中的全局留数条件，区分 $\overline{\mathcal{P}}(\kappa)$ 的主分支，确保构造的合理性。
• 依赖 [Mullane2]、[Muller]、[GruZak] 和 [FarkasVerraTheta] 中已知的除子类，验证构造与先前结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $g \geq 2$ 且 $n \geq g+1$ 的情形下，$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中是否存在无穷多个极小有效除子？
• RQ2 能否利用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中阿贝尔微分的层析结构，在伪有效锥中构造极小除子？
• RQ3 由 $\overline{\mathcal{P}}(\kappa)$ 的纤维化构造的覆盖曲线，是否可作为 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中除子极小性的判别准则？
• RQ4 这些新构造的极小除子与先前已知的类（如 theta 除子或布里尔-诺伊曼子簇类）有何关系？

主要发现

• 对于每个 $g \geq 2$ 且 $n \geq g+1$，本文展示了来自阿贝尔微分层析的无穷多个极小有效除子存在于 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中。
• 除子 $D^n_\kappa$ 是不可约的，除非所有 $k_i$ 均为偶数，在此情况下它有两个分支，分别对应奇自旋与偶自旋结构。
• 通过固定 $m-g-1$ 个点并让其余 $n$ 个点在 $\mathcal{P}(\kappa)$ 中变化而构造的覆盖曲线类 $B^n_\kappa$ 满足 $B^n_\kappa \cdot D^n_\kappa < 0$，从而证明了极小性。
• 该构造推广并扩展了此前关于 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中极小除子的研究结果，包括来自布里尔-诺伊曼、Koszul 及 theta 除子子簇的结果。
• 该方法证实，当 $g \geq 2$ 且 $n \geq g+1$ 时，$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的伪有效锥不是有理多面体，因为它包含无穷多个极小射线。