[论文解读] On the Effective Putinar's Positivstellensatz and Moment Approximation

Lorenzo Baldi, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Polynomial and algebraic computation参考文献 26被引用 2

一句话总结

该论文首次为紧致基本半代数集上的Putinar正定性定理提供了多项式次数界，引入了一种类Lojasiewicz指数以量化正定性证书的次数。它建立了Lasserre的矩-SOS层次结构在多项式优化中收敛速度的首个通用多项式收敛率界，以及在满足约束资格条件（该条件下Lojasiewicz指数等于1）时，截断概率测度与伪矩序列之间Hausdorff距离的首个界。

ABSTRACT

We analyse the representation of positive polynomials in terms of Sums of Squares. We provide a quantitative version of Putinar's Positivstellensatz over a compact basic semialgebraic set S, with a new polynomial bound on the degree of the positivity certificates. This bound involves a Lojasiewicz exponent associated to the description of S. We show that if the gradients of the active constraints are linearly independent on S (Constraint Qualification condition),this Lojasiewicz exponent is equal to 1. We deduce the first general polynomial bound on the convergence rate of the optima in Lasserre's Sum-of-Squares hierarchy to the global optimum of a polynomial function on S, and the first general bound on the Hausdorff distance between the cone of truncated (probability) measures supported on S and the cone of truncated pseudo-moment sequences, which are positive on the quadratic module of S.

研究动机与目标

• 为在紧致基本半代数集上正定的多项式，提供其正定性证书次数的有效、定量界。
• 建立Lasserre的矩-SOS层次结构在全局多项式优化中收敛速度的首个通用多项式界。
• 推导紧致集上截断概率测度与矩层次结构中截断正定伪矩序列之间Hausdorff距离的界。
• 分析与半代数集几何相关的Lojasiewicz指数，并证明在约束资格条件下其值恰好为1。
• 将有效正定性证书与矩逼近方法的适用范围扩展至一般多项式优化与广义矩问题。

提出的方法

• 引入一种新的Lojasiewicz指数，以量化到集合S的距离与约束代数次数之间的关系，将其与正定性证书的次数联系起来。
• 证明在约束资格条件（CQC）下，Lojasiewicz指数等于1，从而简化界并实现多项式收敛率。
• 利用二次模的Archimedean性质以保证紧致性，并支持基于矩的优化层次结构。
• 通过线性泛函的范数估计，建立截断概率测度锥与截断正定伪矩序列锥之间Hausdorff距离的界。
• 利用矩矩阵的性质与Frobenius范数界，控制截断线性泛函的算子范数。
• 将这些界应用于推导Lasserre层次结构中原始问题（多项式优化）与对偶问题（矩逼近）的收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致基本半代数集上，为证明一个多项式正定性，其SOS表示所需的最小次数是多少？该次数如何依赖于内在几何参数？
• RQ2 Lasserre的矩-SOS层次结构收敛到紧致基本半代数集上多项式全局最优解的速度如何？该收敛速度能否以层次级别和问题数据的多项式形式进行有界？
• RQ3 截断伪矩序列逼近紧致集上概率测度的实际矩序列的最优收敛速度是多少？
• RQ4 半代数集的Lojasiewicz指数如何影响Putinar正定性定理中的次数界？
• RQ5 能否为截断概率测度锥与正定伪矩序列外逼近锥之间的Hausdorff距离建立有效界？

主要发现

• 该论文首次建立了Lasserre的矩-SOS层次结构收敛到紧致基本半代数集上多项式全局最优解的通用多项式收敛率界。
• 在约束资格条件下，证明了Lojasiewicz指数恰好为1，从而简化并优化了Putinar正定性定理中的次数界。
• 推导出截断概率测度与正定伪矩序列之间Hausdorff距离的新界，其显式依赖于截断次数和Lojasiewicz指数。
• 矩层次结构的收敛率界被证明为截断次数t和误差ε的多项式，指数为2.5nŁ，其中Ł为Lojasiewicz指数。
• 当Ł=1（在CQC条件下）时，收敛率界简化为t和ε⁻¹的多项式，具体为O(t^{3.5n} \binom{n+t}{t}^{5n/4} ε^{-2.5n})
• 结果为多项式优化中的原始问题与对偶问题提供了有效且可计算的界，使得半定规划松弛的收敛性可进行定量分析。