[论文解读] On the eigenvalues of some nonhermitian oscillators

Francisco M. Fern, andez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2013

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文利用复旋转法与里卡蒂-佩德方法，研究了非厄米振子（特别是PT对称系统）的本征值与共振态。研究结果表明，最优旋转角可使系统转化为PT对称或厄米形式，且通过对角化与里卡蒂-佩德方法，可同时计算实正本征值与共振态，其中后者方法能有效捕捉两类量子态。

ABSTRACT

We consider a class of one-dimensional nonhermitian oscillators and discuss the relationship between the real eigenvalues of PT-symmetric oscillators and the resonances obtained by different authors. We also show the relationship between the strong-coupling expansions for the eigenvalues of those oscillators. Comparison of the results of the complex rotation and the Riccati-Pad\'{e} methods reveals that the optimal rotation angle converts the oscillator into either a PT-symmetric or an Hermitian one. In addition to the real positive eigenvalues the PT-symmetric oscillators exhibit real positive resonances under different boundary conditions. They can be calculated by means of the straightforward diagonalization method. The Riccati-Pad\'e method yields not only the resonances of the nonhermitian oscillators but also the eigenvalues of the PT-symmetric ones.

研究动机与目标

• 澄清其他作者所得的PT对称振子实本征值与共振态之间的关系。
• 分析非厄米振子本征值的强耦合展开。
• 研究最优旋转角如何将非厄米振子转化为PT对称或厄米形式。
• 证明里卡蒂-佩德方法可同时用于计算PT对称振子的共振态与本征值。

提出的方法

• 应用复旋转法变换哈密顿量并提取共振态。
• 采用里卡蒂-佩德方法计算非厄米振子的本征值与共振态。
• 比较复旋转法与里卡蒂-佩德方法的结果，以确定最优旋转角。
• 通过直接对角化方法，在不同边界条件下计算实正共振态。
• 分析强耦合展开，以关联不同振子模型中本征值的行为。
• 识别最优旋转角导致PT对称或厄米哈密顿量的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 PT对称振子的实本征值与其它作者所得的共振态之间有何关系？
• RQ2 最优旋转角在将非厄米振子转化为PT对称或厄米形式中起什么作用？
• RQ3 复旋转法与里卡蒂-佩德方法在计算共振态与本征值时结果如何比较？
• RQ4 里卡蒂-佩德方法能否准确计算非厄米与PT对称振子中的共振态与本征值？
• RQ5 非厄米振子本征值的强耦合展开行为如何？

主要发现

• 最优旋转角可依据参数区域的不同，将非厄米振子转化为PT对称或厄米系统。
• 在不同边界条件下，PT对称振子中会出现实正共振态，且可通过直接对角化方法计算。
• 里卡蒂-佩德方法成功计算了非厄米振子的共振态以及PT对称振子的本征值。
• 非厄米振子本征值的强耦合展开在不同模型间保持一致关联。
• 复旋转法与里卡蒂-佩德方法的比较结果，证实了最优旋转角在简化系统中的鲁棒性。
• 本研究通过共享的数学结构，建立了非厄米系统中的共振态与PT对称系统中本征值之间的直接联系。