[论文解读] On the Emergence of Lorentz Invariance and Unitarity from the Scattering Facet of Cosmological Polytopes

Nima Arkani–Hamed, Paolo Benincasa|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Cosmology and Gravitation Theories被引用 31

一句话总结

本文展示了洛伦兹不变性和幺正性——量子场论的基本原理——如何从宇宙多面体的几何结构中涌现，这些多面体为宇宙的晚期波函数提供了自底向上的描述。通过分析多面体的散射面，作者表明，规范形式的围线积分表示自然地编码了洛伦兹不变的传播子，而边界的因子分解则导出了幺正的S矩阵元素。

ABSTRACT

The concepts of Lorentz invariance of local (flat space) physics, and unitarity of time evolution and the S-matrix, are famously rigid and robust, admitting no obvious consistent theoretical deformations, and confirmed to incredible accuracy by experiments. But neither of these notions seem to appear directly in describing the spatial correlation functions at future infinity characterizing the "boundary" observables in cosmology. How then can we see them emerge as {\\it exact} concepts from a possible ab-initio theory for the late-time wavefunction of the universe? In this letter we examine this question in a simple but concrete setting, for the perturbative wavefunction in a class of scalar field models where an ab-initio description of the wavefunction has been given by "cosmological polytopes". Singularities of the wavefunction are associated with facets of the polytope. One of the singularities -- corresponding to the "total energy pole" -- is well known to be associated with the flat-space scattering amplitude. We show how the combinatorics and geometry of this {\\it scattering facet} of the cosmological polytope straightforwardly leads to the emergence of Lorentz invariance and unitarity for the S-matrix. Unitarity follows from the way boundaries of the scattering facet factorize into products of lower-dimensional polytopes, while Lorentz invariance follows from a contour integral representation of the canonical form, which exists for any polytope, specialized to cosmological polytopes.

研究动机与目标

• 理解洛伦兹不变性和幺正性——这些是平坦时空量子场论中的刚性原理——如何从一个根本的、背景无关的宇宙波函数描述中涌现出来。
• 研究宇宙多面体的作用，它们以组合几何的方式描述波函数，而无需显式引用时空或希尔伯特空间。
• 表明与总能量极点相关的宇宙多面体的散射面，会导出平坦时空的S矩阵，并同时编码了幺正性和洛伦兹不变性。
• 建立多面体几何与散射振幅分析结构之间的直接联系，特别是通过因子分解和围线积分表示。

提出的方法

• 利用通过包含狄拉克δ函数和留数的围线积分表示定义的宇宙多面体的规范形式，计算波函数被积函数。
• 将多面体的散射面识别为对应于总能量极点 $E_{\text{tot}}$ 的几何位置，该位置产生平坦时空的散射振幅。
• 对散射面应用围线积分表示，以恢复圈振幅中的 $l_0$ 积分，其中 $i\varepsilon$ 规范自然地从规范形式中出现。
• 分析散射面的边界结构：每个低维面对应一个连通子图，并分解为低维散射面和单纯形的乘积。
• 利用边界的因子分解推导S矩阵的幺正性，因为波函数可分解为低点振幅和波函数的乘积。
• 证明二次洛伦兹不变传播子通过规范形式中线性能量极点的配对而出现，表明洛伦兹不变性如何被几何地编码。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛伦兹不变性作为相对论性量子场论的基石，如何从仅编码空间动量的几何对象（如宇宙多面体）中涌现？
• RQ2 在边界描述中时间演化缺失的情况下，S矩阵的幺正性如何在宇宙波函数中实现？
• RQ3 在宇宙多面体框架中，平坦时空散射振幅的几何起源是什么？
• RQ4 规范形式与多面体的围线积分表示如何重现圈振幅中正确的 $i\varepsilon$ 规范和 $l_0$ 积分？
• RQ5 宇宙多面体的散射面能否被解释为S矩阵的几何实现，其因子分解与分析结构是否可由多面体的组合学推导？

主要发现

• 宇宙多面体的散射面在几何上与总能量极点 $E_{\text{tot}}$ 相关联，其留数给出平坦时空的散射振幅。
• S矩阵的幺正性源于散射面边界的因子分解，其分解为低维散射面和单纯形的乘积，对应于壳上中间态。
• 洛伦兹不变性从规范形式的围线积分表示中涌现，该表示自然地产生圈振幅中正确的 $i\varepsilon$-规范 $l_0$ 积分。
• 振幅中的二次洛伦兹不变传播子通过规范形式分解为线性能量极点的乘积，揭示了相对论性传播子更深层的几何起源。
• 波函数被积函数的分析结构——特别是 $1/(y_c^2 - (y_a + y_b - x_1)^2)$ 项——与对 $l_0$ 的围线积分结果一致，其中 $1/(2y)$ 因子来自留数。
• 散射面的几何结构提示可能存在一种‘宇宙关联单纯形’的推广，可通过更高维几何结构统一宇宙波函数与散射振幅。