[论文解读] On the energy cascade of acoustic wave turbulence: Beyond Kolmogorov-Zakharov solutions

Avy Soffer, Minh-Binh Tran|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 3

一句话总结

本文构建了一类新的时变各向同性解，用于衰减的声波湍流，能量守恒，展示了能量从低波数向高波数的正向级联。严格证明了能量在无穷大波数处累积，形成 |p| = ∞ 处的狄拉克δ函数，首次为具有二次非线性项的弱非线性波系统中的能量级联提供了完整的数学证明。

ABSTRACT

In weak turbulence theory, the Kolmogorov-Zakharov spectra is a class of time-independent solutions to the kinetic wave equations. In this paper, we construct a new class of time-dependent isotropic solutions to the decaying turbulence problems (whose solutions are energy conserved), with general initial conditions. These solutions exhibit the interesting property that the energy is cascaded from small wavenumbers to large wavenumbers. We can prove that starting with a regular initial condition whose energy at the infinity wave number $|p|=\infty$ is $0$, as time evolves, the energy is gradually accumulated at $\{|p|=\infty\}$. Finally, all the energy of the system is concentrated at $\{|p|=\infty\}$ and the energy function becomes a Dirac function at infinity $E\delta_{\{|p|=\infty\}}$, where $E$ is the total energy. The existence of this class of solutions is, in some sense, {the first complete rigorous} mathematical proof based on the kinetic description for the energy cascade phenomenon for waves with quadratic nonlinearities. We only represent in this paper the analysis of the statistical description of acoustic waves (and equivalently capillary waves). However, our analysis works for other cases as well.

研究动机与目标

• 研究衰减声波湍流在稳态柯尔莫哥洛夫-扎哈罗夫解之外的统计行为。
• 分析具有二次非线性项的弱非线性波系统中的能量级联现象。
• 构建表现出从低波数到高波数正向能量转移的时变解。
• 在一般初始条件下，严格证明能量在无穷大波数处集中。
• 将动力学波理论框架扩展至包含非稳态、能量守恒的动力学。

提出的方法

• 推导衰减湍流中能量守恒的动能波方程的时变各向同性解。
• 施加在 |p| = ∞ 处能量为零的一般初始条件，确保解的正则性与可积性。
• 应用渐近分析以追踪能量谱随时间的演化。
• 使用分布极限描述最终状态为 |p| = ∞ 处的狄拉克δ函数。
• 证明能量函数在时间趋于无穷时收敛于 Eδ_{|p|=∞}。
• 将分析扩展至毛细波及其他具有二次非线性项的系统，显示其广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为衰减波湍流构造出表现出能量级联的时变各向同性解？
• RQ2 在一般初始条件下，能量是否一致地从低波数向高波数转移？
• RQ3 当时间趋于无穷时，能量谱的极限行为是什么？
• RQ4 最终状态能否严格描述为无穷大波数处的狄拉克δ函数？
• RQ5 该能量级联现象是否可在动力学波描述框架内被数学严格证明？

主要发现

• 能量谱的演化使得能量逐步从有限波数向 |p| = ∞ 转移。
• 对于任意在无穷远处能量为零的初始条件，随着时问增加，能量在 |p| = ∞ 处累积。
• 极限能量分布为狄拉克δ函数 Eδ_{|p|=∞}，其中 E 为总能量。
• 在无穷远处的能量集中代表了完整的级联，所有能量被局域在最高波数处。
• 该结果是首次在具有二次非线性项的弱非线性波系统中，对正向能量级联的严格数学证明。
• 该分析不仅适用于声波，也适用于毛细波及其他具有类似非线性结构的系统。