[论文解读] On the Energy Decay Rate of the Fractional Wave Equation on $\mathbb{R}$ with Relatively Dense Damping

Walton Green|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在相对稠密的阻尼条件下，建立了 $√$ 上阻尼分数阶波动方程能量的精确衰减速率，证明了当 $0 < s < 2$ 时为多项式衰减，当 $s ≥q 2$ 时为指数衰减。关键贡献在于证明：若阻尼在正测度集上消失，则当 $s < 2$ 时指数衰减不可能成立，从而确立 $s = 2$ 为临界阈值。

ABSTRACT

We establish upper bounds for the decay rate of the energy of the damped fractional wave equation when the averages of the damping coefficient on all intervals of a fixed length are bounded below. If the power of the fractional Laplacian, $s$, is between 0 and 2, the decay is polynomial. For $s \ge 2$, the decay is exponential. Second, we show that our assumption on the damping is necessary for the energy to decay exponentially.

研究动机与目标

• 在最小阻尼假设下，确定 $√$ 上阻尼分数阶波动方程的能量衰减速率。
• 识别区分多项式衰减与指数衰减的分数阶拉普拉斯幂 $s$ 的临界值。
• 证明：当阻尼在正测度集上消失时，$s < 2$ 时指数衰减不可能成立。
• 建立相对稠密阻尼条件对能量衰减的必要性，推广先前结果。

提出的方法

• 利用 Gearhart-Pruss 定理，将算子生成元的谱性质与半群的指数衰减联系起来。
• 应用 Borichev-Tomilov 定理，通过预解估计刻画多项式衰减速率。
• 采用广义的 Paneah-Logvinenko-Sereda 不确定性原理，控制正密度集合上的 $L^2$ 范数。
• 通过傅里叶分析与不确定性原理，推导分数阶拉普拉斯的预解估计。
• 将衰减问题约化为涉及阻尼系数 $\gamma$ 与频率局部化的谱不等式。
• 利用频率局部化的测试函数与平移不变性，推导指数衰减对 $\gamma$ 的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 当阻尼相对稠密时，$√$ 上阻尼分数阶波动方程的能量的精确衰减速率是什么？
• RQ2 条件 $\{x: \gamma(x) \geq \varepsilon\}$ 为相对稠密集，是否对能量衰减既充分又必要？
• RQ3 区分多项式与指数衰减的 $s$ 的临界值是什么？
• RQ4 若阻尼在正测度集上消失，$s < 2$ 时是否可能发生指数衰减？
• RQ5 傅里叶变换的不确定性原理如何帮助证明分数阶波动方程的谱估计？

主要发现

• 当 $0 < s < 2$ 时，在相对稠密阻尼条件下，能量以 $O((1+t)^{-s/(4-2s)})$ 的速率多项式衰减。
• 当 $s \geq 2$ 时，在相同阻尼条件下，能量呈指数衰减，即 $O(e^{-\omega t})$。
• 相对稠密阻尼条件（即 $\inf_a \int_{a-R}^{a+R} \gamma(x)\,dx > 0$）对能量衰减既充分又必要。
• 若 $m(\{\gamma = 0\}) > 0$，则当 $s < 2$ 时指数衰减不可能成立，从而确立 $s = 2$ 为精确临界阈值。
• 通过矛盾法证明阻尼条件的必要性，利用不确定性原理与频率局部化函数。
• 证明依赖于由 Paneah-Logvinenko-Sereda 定理导出的预解估计，将谱界与衰减速率联系起来。