[论文解读] On the enumeration of lattice $3$-polytopes

Mónica Blanco, Francisco Santos|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 3

一句话总结

本文使用三种结构类别——尖刺型、盒型和拼接型多面体，对宽度大于一的大小不超过11的格点3-多面体进行了完整分类。证明了所有此类多面体均属于这三种类型之一，从而实现了完整的计算枚举，并完成了对大小不超过8的互异对和3-多面体的分类。

ABSTRACT

A lattice $3$-polytope is a polytope $P$ with integer vertices. We call size of $P$ the number of lattice points it contains, and width of $P$ the minimum, over all integer linear functionals $f$, of the length of the interval $f(P)$. In a previous paper we have shown that all but finitely many lattice $3$-polytopes of a given size have width one, which opens the possibility of enumerating those of width larger than one. There is none of size 4 (White, 1964) and those of sizes five and six were classified in our previous papers. In this paper we prove that every lattice $3$-polytope $P$ of width larger than one and size at least seven falls into one of the following three categories: - It projects in a very specific manner to one of a list of seven particular $2$-polytopes. We call $3$-polytopes of this type \emph{spiked}, and we describe them explicitly. - All except three of the lattice points in $P$ are contained in a rational parallelepiped of width one with respect to every facet. We call these polytopes \emph{boxed}. They have size at most 11 and we have completely enumerated them. - $P$ has (at least) two vertices $u$ and $v$ such that, when removing each of them, the width is still larger than one. Polytopes of this type can be all obtained gluing smaller polytopes of width larger than one. This allows for a computational enumeration of all lattice $3$-polytopes of width larger than one up to any given size. We have completely enumerated $3$-polytopes of width larger than one and size up to eleven. In particular, this implies the complete classification of distinct-pair-sum (or dps, for short) $3$-polytopes, which have size at most eight, of width larger than one.

研究动机与目标

• 对给定大小范围内所有宽度大于一的格点3-多面体进行分类。
• 在大小4–6已有研究的基础上，将格点3-多面体的分类扩展至大小6以上。
• 解决互异对和（dps）3-多面体的完整枚举问题，已知其大小至多为8。
• 将高宽格点3-多面体结构分解为三种标准类型：尖刺型、盒型和基于拼接的类型。
• 通过刻画其几何与组合性质，实现对所有此类多面体至大小11的完整计算枚举。

提出的方法

• 根据其几何与投影性质，将宽度 >1 的格点3-多面体划分为三种结构类型：尖刺型、盒型和基于拼接的类型。
• 将‘尖刺型’多面体定义为投影到七种二维格点多面体之一的特定方式的多面体，从而可进行显式描述。
• 将‘盒型’多面体表征为：除三个格点外，其余所有格点均位于相对于每个面为宽度一的有理平行六面体内，且大小至多为11。
• 对至少存在两个顶点，其移除后仍保持宽度 >1 的多面体，使用拼接构造法，实现递归枚举。
• 通过利用结构分解实现计算枚举，确保至大小11的完整性。
• 将该分类应用于完全枚举互异对和（dps）3-多面体，已知其大小至多为8。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些结构类型可表征所有大小至少为七的宽度大于一的格点3-多面体？
• RQ2 如何利用几何与组合准则，系统地对宽度 >1 的格点3-多面体进行分解与枚举？
• RQ3 ‘盒型’格点3-多面体的最大大小是多少？能否实现其完全枚举？
• RQ4 所有宽度 >1 的格点3-多面体是否均可通过在更小的此类多面体上进行拼接操作生成？
• RQ5 互异对和（dps）3-多面体的完整分类是什么？该分类可实现到多大大小？

主要发现

• 所有宽度 >1 且大小 ≥7 的格点3-多面体均属于以下三种结构类别之一：尖刺型、盒型或基于拼接的类型。
• ‘盒型’格点3-多面体类别的大小至多为11，且本研究中已实现完全枚举。
• 对宽度 >1 的格点3-多面体的完整枚举已实现至大小11，提供了该范围内的完整分类。
• 对互异对和（dps）3-多面体的分类已完全解决，因其大小至多为8，且已包含在枚举之中。
• 将结构分解为尖刺型、盒型和拼接类型，使得对所有此类多面体至大小11的完整计算枚举成为可能。
• 本文确立了不存在大小为4的格点3-多面体具有宽度 >1，从而确认了先前结果，并为分类框架提供了锚定。