[论文解读] On the Enumeration of Minimal Dominating Sets and Related Notions

Mamadou Moustapha Kanté, Vincent Limouzy+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用 85

一句话总结

本文建立了图中最小支配集枚举（Dom-Enum）与超图中最小横切集枚举（Trans-Enum）之间的等价性，证明二者可多项式归约互化。本文提出一种基于补全技术的输出多项式时间算法，用于P6-自由弦图中的Dom-Enum，并表明最小连通支配集对应于最小分离集的最小横切集，从而在最小分离集数量多项式有界的图类中实现输出多项式时间算法。

ABSTRACT

A dominating set $D$ in a graph is a subset of its vertex set such that each vertex is either in $D$ or has a neighbour in $D$. In this paper, we are interested in the enumeration of (inclusion-wise) minimal dominating sets in graphs, called the Dom-Enum problem. It is well known that this problem can be polynomially reduced to the Trans-Enum problem in hypergraphs, i.e., the problem of enumerating all minimal transversals in a hypergraph. Firstly we show that the Trans-Enum problem can be polynomially reduced to the Dom-Enum problem. As a consequence there exists an output-polynomial time algorithm for the Trans-Enum problem if and only if there exists one for the Dom-Enum problem. Secondly, we study the Dom-Enum problem in some graph classes. We give an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in split graphs, and introduce the completion of a graph to obtain an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem in $P_6$-free chordal graphs, a proper superclass of split graphs. Finally, we investigate the complexity of the enumeration of (inclusion-wise) minimal connected dominating sets and minimal total dominating sets of graphs. We show that there exists an output-polynomial time algorithm for the Dom-Enum problem (or equivalently Trans-Enum problem) if and only if there exists one for the following enumeration problems: minimal total dominating sets, minimal total dominating sets in split graphs, minimal connected dominating sets in split graphs, minimal dominating sets in co-bipartite graphs.

研究动机与目标

• 建立Dom-Enum与Trans-Enum问题之间的计算等价性。
• 为弦图中的Dom-Enum问题开发输出多项式时间算法，并通过图补全技术将其扩展至P6-自由弦图。
• 刻画图中最小连通支配集与最小分离集之间的关系。
• 识别出存在输出多项式时间算法以枚举连通支配集的图类。
• 厘清各类支配集枚举问题之间的复杂度层次关系。

提出的方法

• 本文证明了从Trans-Enum到Dom-Enum的多项式归约，确立了两个问题之间的等价性。
• 利用图补全的概念，将一个P6-自由弦图转换为一个弦图，同时保持其最小支配集不变。
• 对补全后的图应用已知的弦图中Dom-Enum的输出多项式时间算法，确保线性延迟与多项式空间复杂度。
• 证明图中最小连通支配集恰好是其最小分离集超图的最小横切集。
• 在最小分离集数量多项式有界的图类中，将CDom-Enum问题归约为Trans-Enum问题。
• 运用结构图论与超图对偶性，将支配集问题与横切集枚举问题关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dom-Enum问题在超图中是否与Trans-Enum问题多项式等价？
• RQ2 能否将弦图中Dom-Enum的输出多项式时间算法扩展至更广泛的图类？
• RQ3 图中最小连通支配集与最小分离集之间存在何种关系？
• RQ4 哪些图类允许对最小连通支配集枚举问题使用输出多项式时间算法？
• RQ5 CDom-Enum问题是否严格难于Dom-Enum问题？

主要发现

• Dom-Enum问题与Trans-Enum问题多项式等价：一个存在输出多项式时间算法当且仅当另一个也存在。
• 弦图中Dom-Enum存在输出多项式时间算法，且运行时间为线性延迟，空间复杂度为多项式。
• 通过将图补全为弦图，实现了P6-自由弦图中Dom-Enum的输出多项式时间算法，延迟为O(n + m)，空间复杂度为O(n²)。
• 图中最小连通支配集恰好是其最小分离集超图的最小横切集。
• 在最小分离集数量多项式有界的任何图类中，CDom-Enum问题可归约为Trans-Enum，从而支持输出多项式时间算法。
• CDom-Enum问题严格难于Dom-Enum问题，因为其在一般情况下无法归约为Dom-Enum，但在特定图类（如弦图）中与Trans-Enum等价。