[论文解读] On the enumeration of rational plane curves with tangency conditions

Charles Cadman|ArXiv.org|Sep 28, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出了一种递归公式，用于枚举在光滑圆锥曲线 $E \subset \mathbb{P}^2$ 上通过指定点、在指定和未指定点处具有指定切触条件（一阶和二阶）并经过 $\mathbb{P}^2$ 中额外一般点的有理平面曲线的数目。通过使用沿 $E$ 的平方根构造所构建的栈 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 上的扭曲稳定映射，作者推广了康采维奇的递归公式，并将卡波拉索-哈里斯型公式扩展至圆锥曲线情形，证明了在此设定下格罗莫夫-威滕不变量的可枚举性。

ABSTRACT

We use twisted stable maps to answer the following question. Let E\subset P^2 be a smooth cubic. How many rational degree d curves pass through a general points of E, have b specified tangencies with E and c unspecified tangencies, and pass through 3d-1-a-2b-c general points of P^2? The answer is given as a generalization of Kontsevich's recursion. We also investigate more general enumerative problems of this sort, and prove an analogue of a formula of Caporaso and Harris.

研究动机与目标

• 解决在 $\mathbb{P}^2$ 中计数具有指定和未指定切触条件的有理次数 $d$ 曲线的枚举问题，这些曲线与光滑圆锥曲线 $E$ 相切。
• 将康采维奇关于通过一般点的有理曲线的递归公式推广至包含与 $E$ 的切触约束的情形。
• 证明在栈 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 上的格罗莫夫-威滕不变量是可枚举的，即等于满足指定接触阶数的曲线的实际数目。
• 将卡波拉索-哈里斯公式推广至与光滑平面圆锥曲线接触的情形，而非直线或圆锥曲线的情形。
• 提供一种可计算的递归算法，可通过 Maple 程序实现。

提出的方法

• 本文使用到由沿光滑圆锥曲线 $E \subset \mathbb{P}^2$ 应用平方根构造所得到的德利涅-马杜尔栈 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 上的扭曲稳定映射。
• 通过栈上的 $\mu_2$-作用定义接触类型，该作用编码了曲线在标记点处与 $E$ 的切触阶数。
• 枚举问题被转化为在 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 上扭曲稳定映射的模空间上计算交点数，利用了具有偶数阶接触的映射可提升至栈的性质。
• 通过变形理论论证表明，仅具有期望维数的分支对格罗莫夫-威滕不变量有贡献，从而确保了可枚举性。
• 通过分析域曲线在节点分离下的映射行为，并对域曲线中的节点数进行归纳，推导出递归关系。
• 关键技术工具是证明模栈上的求值映射是通用满射的，且非期望维数的分支不贡献于不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{P}^2$ 中，有多少条有理次数 $d$ 的曲线通过 $E$ 上的 $a$ 个一般点，具有 $b$ 个指定的二阶切触条件，$c$ 个未指定的二阶切触条件，以及 $\mathbb{P}^2$ 中 $3d-1-a-2b-c$ 个一般点？
• RQ2 康采维奇关于通过一般点的有理曲线的递归公式能否推广至包含与光滑平面圆锥曲线的切触条件？
• RQ3 计数与圆锥曲线 $E$ 具有指定接触阶数的曲线的格罗莫夫-威滕不变量是否是可枚举的，即是否等于此类曲线的实际数目？
• RQ4 扭曲稳定映射到 $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 的模空间的结构是什么，它与经典枚举几何有何关系？
• RQ5 能否为与光滑平面圆锥曲线的接触建立类似直线和圆锥曲线情形的卡波拉索-哈里斯型递归？

主要发现

• 满足指定切触和点条件的有理次数 $d$ 曲线数目 $N_d(a,b,c)$ 由一个推广的递归公式给出，该公式扩展了康采维奇的公式。
• $\mathbb{P}^2_{E,2}$ 栈上的格罗莫夫-威滕不变量是可枚举的，意味着它们计数的是满足几何约束的实际曲线。
• 递归关系通过分析扭曲稳定映射的变形理论并基于域曲线中的节点数进行归纳推导得出。
• 扭曲稳定映射模栈上的求值映射是通用满射的，确保了期望维数条件足以保证可枚举性。
• 该公式同时考虑了指定和未指定的切触点，其中指定接触要求在 $E$ 上固定点，而未指定接触点则允许变化。
• 作者主页提供了实现该递归的 Maple 程序，可对较小的 $d$ 值显式计算 $N_d(a,b,c)$。