[论文解读] On the equidistribution of totally geodesic submanifolds in compact locally symmetric spaces and application to boundedness results for negative curves and exceptional divisors

Vincent Koziarz, Julien Maubon|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了紧致型非紧致对称空间中全测地子流形的等分布性，证明了此类空间中仅有有限多个例外全测地除子——尤其是负曲线和例外除子。该结果解决了希米拉曲面的有界负性猜想，表明在2-球面或双圆盘的紧致商上，仅有有限多个具有负自交数的全测地曲线存在。

ABSTRACT

We prove an equidistribution result for totally geodesic submanifolds in a compact locally symmetric space. In the case of Hermitian locally symmetric spaces, this gives a convergence theorem for currents of integration along totally geodesic subvarieties. As a corollary, we obtain that on a complex surface which is a compact quotient of the bidisc or of the 2-ball, there is at most a finite number of totally geodesic curves with negative self intersection. More generally, we prove that there are only finitely many exceptional totally geodesic divisors in a compact Hermitian locally symmetric space of the noncompact type of dimension at least 2.

研究动机与目标

• 在有限体积的紧致型赫尔米特局部对称空间中建立全测地子流形的等分布性。
• 解决希米拉曲面的有界负性猜想，特别是针对2-球面和双圆盘商中的全测地曲线。
• 证明在复维数≥2的紧致型赫尔米特局部对称空间中，仅有有限多个例外全测地除子。
• 将有限性结果推广至可约对称空间及非局部可分解除子。
• 提供一个通用框架，利用当前的收敛性与等分布技术，适用于超出负曲线特定情形的更广泛情况。

提出的方法

• 利用有限体积局部对称空间中全测地子簇上积分电流的等分布定理。
• 应用在等距群的无 torsion 子群作用下，与全测地子流形相关的概率测度的收敛性。
• 利用 H^{1,1}(X,R) 与 H^{n-1,n-1}(X,R) 之间配对的非退化性，分析上同调类的渐近行为。
• 使用格劳尔特定理，推导出例外除子与光滑曲面相交所得曲线的负自交性。
• 基于归一化上同调类极限收敛于非零 (1,1)-形式的反证法。
• 依赖凯勒形式与体积形式在群作用下的不变性，以确保交数的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2-球面或双圆盘的紧致商上，是否仅有有限多个具有负自交数的全测地曲线？
• RQ2 能否通过几何与上同调方法验证希米拉曲面的有界负性猜想？
• RQ3 全测地子流形的等分布是否意味着在高维赫尔米特局部对称空间中例外除子的有限性？
• RQ4 何种条件可确保一个全测地除子不是局部因子，且这如何影响例外除子的有限性？
• RQ5 若存在无穷多个此类除子，归一化上同调类的收敛性是否会导致矛盾？

主要发现

• 在任意作为2-球面或双圆盘商的紧致复曲面中，仅有有限多个具有负自交数的全测地曲线。
• 在复维数≥2的紧致型赫尔米特局部对称空间中，仅有有限多个例外全测地除子。
• 在假设存在无穷多个此类除子的前提下，全测地除子的归一化上同调类在极限下收敛于一个非零闭 (1,1)-形式。
• 矛盾源于交数估计：交数极限趋于零，而由于极限形式非零，仍存在正下界。
• 典范类 [K_X] 是正的，且由 G-不变凯勒形式表示，确保了体积与上同调计算中的正性。
• 在不可约局部对称空间中，作为局部因子（即与一条曲线的乘积）的例外除子不可能存在，否则将与格的不可约性矛盾。