[论文解读] On the equivalence of proportional-integral and proportional-resonant controllers with anti-windup

Christoph M. Hackl|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Numerical methods for differential equations被引用 13

一句话总结

本文在同步旋转（d, q）和静止（α, β）参考系中，证明了比例-积分（PI）与比例-谐振（PR）控制器在控制器参数和初始条件完全相同的情况下，具备状态空间等价性，且该等价性在电角度速度时变时依然成立。结果表明，当正确实现时，两种控制器的闭环动态特性与稳态精度完全一致。

ABSTRACT

It is shown that proportional-integral (PI) control in the synchronously rotating (d, q)-reference frame and proportional-resonant (PR) control in the stationary (α, \b{eta})-reference frame, both with anti-windup, are equivalent if and only if their implementation is done correctly in state space and the controller parameters and the initial values are identical. It is shown that an equivalence in the frequency domain does only hold if simplifying assumptions are satisfied. As consequence of the equivalence, both closed- loop control performances are identical with respect to closed-loop dynamics and steady-state accuracy. The control performance will only differ if their implementation is not done correctly or the time delay induced by the voltage source inverter becomes significant. To the best knowledge of the author, equivalence of PR and PI controllers with anti-windup has not been shown before (in particular not in state space).

研究动机与目标

• 为解决在时变电角速度条件下，PI与PR控制器等价性存在的模糊性，特别是在电机侧与电网侧控制应用中的问题。
• 在状态空间中正式建立等价性，而非依赖于恒定角频率的频域假设。
• 证明当控制器参数与初始条件相同时，两种控制器可产生完全一致的闭环性能。
• 澄清性能差异仅源于错误实现或显著的逆变器时间延迟，而非控制器类型本身。
• 为在永磁同步电机驱动和弱电网并网逆变器等常见频率波动的应用中控制器选择提供严谨理论基础。

提出的方法

• 利用帕克变换和时间导数规则，推导出在（d, q）坐标系中带抗饱和功能的PI控制器的状态空间表达式。
• 推导出在（α, β）坐标系中带抗饱和功能的PR控制器的状态空间表达式，包含时变电角速度。
• 应用逆帕克变换，建立（α, β）与（d, q）坐标系动态之间的关联，实现跨坐标系比较。
• 利用旋转矩阵 Tp(φk)、反对称矩阵 J 及其可交换性质的矩阵恒等式，简化时间导数表达式。
• 在控制器参数与初始值完全相同条件下，比较两种控制器的微分方程。
• 证明当控制器参数与初始状态匹配时，闭环动态特性与控制输入方程在数学上完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，（d, q）坐标系中的PI控制器与（α, β）坐标系中带抗饱和功能的PR控制器等价？
• RQ2 当电角速度为时变而非恒定时，该等价性是否仍然成立？
• RQ3 初始条件与控制器参数匹配在实现等价性中起什么作用？
• RQ4 为何频域分析在角速度变化时无法完整捕捉等价性？
• RQ5 能否在不作简化假设的前提下，于状态空间中严格证明该等价性？

主要发现

• 仅当控制器参数与初始值完全相同时，带抗饱和功能的PI与PR控制器在（d, q）与（α, β）坐标系中才具备等价性。
• 该等价性已在状态空间中得到证明，因此适用于时变电角速度，从而否定了经典频域等价性证明在该条件下的有效性。
• 当控制器以匹配的参数与初始条件正确实现时，两种控制器的闭环动态特性与稳态精度完全相同。
• 性能差异仅源于错误实现或显著的电压源型逆变器时间延迟，而非控制器类型本身。
• 在参数与初始值匹配条件下，（α, β）坐标系中PR控制器的状态方程与（d, q）坐标系中PI控制器的状态方程在数学上完全一致。
• 本文首次提供了PI与PR控制器带抗饱和功能之间等价性的严格状态空间证明，解决了文献中长期存在的模糊性问题。