[论文解读] On the equivalence of state transformer semantics and predicate transformer semantics

Klaus Keimel|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文在指称语义中建立了状态变换语义与谓词变换语义等价性的范畴论基础，采用连续性函子与dcpo代数上的Scott连续泛函。引入了一种宽松的熵条件，以捕捉概率性和非确定性幂域，证明在连续一致的dcpo上，Scott连续超线性泛函的单子等于由投影生成的单子，从而确保完全等价。

ABSTRACT

G. Plotkin and the author have worked out the equivalence between state transformer semantics and predicate transformer semantics in a domain theoretical setting for programs combining nondeterminism and probability. Works of C. Morgan and co-authors, Keimel, Rosenbusch and Streicher, already go in the same direction using only discrete state spaces. It is the aim of this paper to exhibit a general framework in which one can hope that state transformer semantics and predicate transformer semantics are equivalent. We use a notion of entropicity borrowed from universal algebra and a relaxed setting adapted to the domain theoretical situation.

研究动机与目标

• 阐明域论指称语义中状态变换与谓词变换语义等价性的基础原理。
• 确定由投影生成的单子（$\mathcal{F}_R X$）与Scott连续代数同态的单子（$\mathcal{M}_R X$）一致的条件。
• 将经典的熵条件推广为一种宽松形式，以捕捉非确定性与概率性效应的结合。
• 证明在连续一致的dcpo上，超线性泛函的单子（$\mathcal{S}\mathcal{V}X$）等于由投影生成的单子（$\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X$），从而确保完全等价。

提出的方法

• 利用观察代数$R$上的延续单子，建立状态变换与谓词变换之间的自然双射。
• 在延续单子之下引入两个子单子：由投影生成的$\mathcal{F}_R X$与Scott连续代数同态的$\mathcal{M}_R X$。
• 在$R$-代数上定义一种宽松的熵条件，用不等式替代等式，以建模概率性与非确定性选择。
• 将宽松态射表征为满足$\varphi(rf) = r\varphi(f)$与$\varphi(f+g) \geq \varphi(f) + \varphi(g)$的Scott连续超线性泛函$\varphi: \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}$。
• 应用Hahn-Banach型定理，证明每个超线性泛函都是线性泛函的逐点下确界。
• 在$\mathcal{S}\mathcal{V}X$与$\mathcal{V}X$的非空Scott紧致饱和凸子集之间建立序同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在观察代数$R$满足何种条件时，单子$\mathcal{F}_R X$与$\mathcal{M}_R X$一致？
• RQ2 经典的熵条件能否推广以捕捉非确定性与概率性效应的结合？
• RQ3 是否存在一种单子表征，使得超线性泛函对应于同时存在非确定性与概率性时的幂域语义？
• RQ4 在哪些dcpo类中，等式$\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X = \mathcal{S}\mathcal{V}X$成立？
• RQ5 如何利用幂域的功能表示来简化状态与谓词变换语义等价性的证明？

主要发现

• Scott连续超线性泛函的单子$\mathcal{S}\mathcal{V}X$构成$[\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}]$中的d-锥与$\wedge$-子半格，且从属于延续单子。
• 存在一个自然的一一对应关系，连接状态变换$t: X \to \mathcal{S}\mathcal{V}Y$与超线性谓词变换$s: \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^Y \to \overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}^X$。
• 在连续一致的dcpo上，由投影生成的单子$\mathcal{F}_{\overline{\mathbb{R}}_{\mbox{\tiny+}}}X$等于超线性泛函的单子$\mathcal{S}\mathcal{V}X$。
• 映射$\varphi \mapsto K(\varphi)$，将每个超线性泛函映射到支配它的线性泛函集合，给出了$\mathcal{S}\mathcal{V}X$与$\mathcal{V}X$的非空Scott紧致饱和凸子集之间的序同构。
• 宽松的熵条件允许通过在$R$的代数结构中用不等式替代等式来建模概率性选择，从而能够处理非确定性与概率性效应的结合。
• 与基于集合的表示相比，幂域的功能表示简化了证明并降低了技术复杂度，如先前工作中从基于集合的形式到功能形式的转换所示。