[论文解读] On the equivariant cohomology of subvarieties of a B-regular variety

James B. Carrell, Kiumars Kaveh|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文分类了 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$，其中 $X$ 是 ${\mathfrak{B}}$-正则簇，且限制映射 $H^*(X) \to H^*(Y)$ 是满射（称为主子簇）。文章证明，此类子簇恰好对应于满足 ${\mathfrak{T}}$-等变上同调 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 同构于 $Y \times \mathbb{P}^1$ 中曲线 ${\mathcal{Z}}_Y$ 的坐标环的子簇，并证明 $Y$ 是主子簇当且仅当 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$，其中后者是由 $Y$ 上 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛的陈类生成的子代数。这提供了基于等变几何的主子簇的上同调刻画。

ABSTRACT

By a $B$-regular variety, we mean a smooth projective variety over $C$ admitting an algebraic action of the upper triangular Borel subgroup $B \subset SL_2(C)$ such that the unipotent radical in $B$ has a unique fixed point. A result of M. Brion and the first author describes the equivariant cohomology algebra (over $C$) of a $B$-regular variety $X$ as the coordinate ring of a remarkable affine curve in $X imes P^1$. The main result of this paper uses this fact to classify the $B$-invariant subvarieties $Y$ of a $B$-regular variety $X$ for which the restriction map $i_Y:H^*(X) o H^*(Y)$ is surjective.

研究动机与目标

• 对 ${\mathfrak{B}}$-正则簇 $X$ 的 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$ 进行分类，使得限制映射 $H^*(X) \to H^*(Y)$ 是满射。
• 利用其 ${\mathfrak{T}}$-等变上同调代数的结构，对这些子簇进行刻画。
• 精确建立限制映射的上同调满射性与同构 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$ 之间的对应关系，其中 ${\mathcal{Z}}_Y$ 是 $Y \times \mathbb{P}^1$ 中的典范曲线。
• 证明 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$ 是主子簇当且仅当其 ${\mathfrak{T}}$-等变上同调等于由 $Y$ 上 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛的陈类生成的子代数 ${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$。

提出的方法

• 本文利用已知同构 $H^*_{\mathfrak{T}}(X) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_X]$，其中 ${\mathcal{Z}}_X$ 是 $X \times \mathbb{P}^1$ 中的 ${\mathfrak{T}}$-不变仿射曲线，来分析 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$ 的限制映射 $i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$。
• 定义 ${\mathcal{Z}}_Y$ 为 ${\mathcal{Z}}_X \cap (Y \times \mathbb{C})$ 的约化交集，并构造一个 ${\mathbb{C}}[v]$-代数同态 $\rho_Y: {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y) \to \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$。
• 关键技术工具是构造了向量丛 $\textup{End}(\tilde{E}_{|{\mathcal{Z}}_Y})$ 的一个正则截面 $s(v)$，使得陈类 $c_k^{{\mathfrak{T}}}(E)$ 可以作为 ${\mathcal{Z}}_Y$ 上的正则函数实现。
• 文章应用局部化技巧和 ${\mathfrak{B}}$-作用的结构，证明当 $Y$ 的奇上同调为零时，$\rho_Y$ 是同构。
• 证明 $H^*_{\mathfrak{T}}(X)$ 在 $i_Y^*$ 下的像是恰好等于 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 当且仅当 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$，从而将上同调条件与等变上同调的代数结构联系起来。
• 证明依赖于包含 $\rho_X$、$\rho_Y$ 和限制映射的交换图，建立了 $\rho_Y \circ i_Y^* \circ \rho_X^{-1} = \text{id}$ 在 $\mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$ 上的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$ 属于 ${\mathfrak{B}}$-正则簇 $X$，使得限制映射 $H^*(X) \to H^*(Y)$ 是满射？
• RQ2 对于此类子簇，其 ${\mathfrak{T}}$-等变上同调 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 如何从几何上描述？
• RQ3 在什么精确代数条件下，$H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \cong \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$ 成立，其中 ${\mathcal{Z}}_Y$ 是 $Y \times \mathbb{P}^1$ 中的曲线？
• RQ4 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛在 $Y$ 上的陈类生成的子代数 ${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$ 何时等于完整的等变上同调代数？
• RQ5 限制映射 $i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 何时是满射，这与 $Y$ 上 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛的陈类有何关系？

主要发现

• ${\mathfrak{B}}$-正则簇 $X$ 的 ${\mathfrak{B}}$-不变子簇 $Y$ 是主子簇（即限制映射 $H^*(X) \to H^*(Y)$ 是满射）当且仅当 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$，其中 ${\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$ 是由 $Y$ 上 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛的陈类生成的子代数。
• ${\mathfrak{T}}$-等变上同调 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 同构于曲线 ${\mathcal{Z}}_Y = {\mathcal{Z}}_X \cap (Y \times \mathbb{C})$ 的坐标环 $\mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$，其中 ${\mathcal{Z}}_X \subset X \times \mathbb{P}^1$ 是典范曲线，$Y \times \mathbb{C}$ 是 $Y$ 与 $\mathbb{C}$ 的乘积。
• $i_Y^*: H^*_{\mathfrak{T}}(X) \to H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 的像是 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y)$ 当且仅当 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$，从而建立了主子簇的上同调判别准则。
• $Y$ 上任意 ${\mathfrak{B}}$-等变向量丛 $E$ 的陈类 $c_k^{{\mathfrak{T}}}(E)$ 在 $\rho_Y$ 下映射为 ${\mathcal{Z}}_Y$ 上的正则函数，其表达式为 $\bigwedge^k E_y$ 上的 $s(v)_y$ 的迹。
• $\rho_Y: H^*_{\mathfrak{T}}(Y) \to \mathbb{C}[{\mathcal{Z}}_Y]$ 是一个 ${\mathbb{C}}[v]$-代数同构，且包含 $\rho_X$、$\rho_Y$ 和限制映射的图是交换的。
• 若 $Y$ 是正规的且 $H^*(Y)$ 由线丛的陈类生成，则 $Y$ 是主子簇，因为这蕴含 $H^*_{\mathfrak{T}}(Y) = {\mathcal{H}}_{\mathfrak{B}}^*(Y)$。