[论文解读] On the essential self-adjointness of sub-Laplacians

Valentina Franceschi, Dario Prandi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文建立了在配备奇异测度的完备次黎曼流形上，次拉普拉斯算子本质自伴性的通用判据。证明了在奇异区域具有适度正则性且无特征点的等秩连通分支上，相对于庞普测度定义的内在次拉普拉斯算子是本质自伴的。

ABSTRACT

We prove a general essential self-adjointness criterion for sub-Laplacians on complete sub-Riemannian manifolds, defined with respect to singular measures. As a consequence, we show that the intrinsic sub-Laplacian (i.e. defined w.r.t. Popp's measure) is essentially self-adjoint on the equiregular connected components of a sub-Riemannian manifold. This result holds under mild regularity assumptions of the singular region, and when the latter does not contain characteristic points.

研究动机与目标

• 建立完备次黎曼流形上相对于奇异测度的次拉普拉斯算子本质自伴性的通用判据。
• 研究在等秩连通分支上，通过庞普测度定义的内在次拉普拉斯算子的自伴性。
• 确定在存在奇异区域的情况下，内在次拉普拉斯算子仍保持本质自伴性的条件。
• 阐明奇异区域的正则性以及无特征点在确保本质自伴性中的作用。

提出的方法

• 为完备次黎曼流形上相对于奇异测度的次拉普拉斯算子的本质自伴性，提出一个通用的充分条件。
• 将该判据应用于在等秩分支上通过庞普测度定义的内在次拉普拉斯算子。
• 对奇异区域施加温和的正则性假设，以确保判据的有效性。
• 运用几何与分析技巧处理次黎曼结构与奇异测度，特别关注奇异集附近的性质。
• 分析奇异区域中无特征点作为防止谱病态的关键条件。
• 依赖流形的完备性与水平分布的结构，以确保判据的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相对于奇异测度定义的次拉普拉斯算子在完备次黎曼流形上是本质自伴的？
• RQ2 通过庞普测度定义的内在次拉普拉斯算子，在次黎曼流形的等秩连通分支上是否本质自伴？
• RQ3 奇异区域的正则性如何影响次拉普拉斯算子的本质自伴性？
• RQ4 特征点在阻碍本质自伴性中起什么作用，其缺失如何确保该性质？
• RQ5 该本质自伴性的通用判据能否在温和的几何假设下应用于内在次拉普拉斯算子？

主要发现

• 通过庞普测度定义的内在次拉普拉斯算子在次黎曼流形的等秩连通分支上是本质自伴的。
• 在奇异区域具有温和正则性假设下，本质自伴性成立，确保几何结构不会引入谱病态。
• 奇异区域中无特征点是内在次拉普拉斯算子本质自伴性的必要条件。
• 该本质自伴性的通用判据适用于相对于奇异测度的次拉普拉斯算子，将已知结果推广至更一般的几何设定。
• 结果证实，只要满足几何条件，即使测度为奇异，内在次拉普拉斯算子仍保持其自伴性质。