[论文解读] On the essential spectrum of the operators in certain crossed products

Vladimir Georgescu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 1

一句话总结

本文证明了在交叉积 $\mathscr{A} = \mathcal{A} \times \mathbb{R}^d$ 中一个算子的纯量谱是其在 $\mathcal{A}^\dagger$（$\mathcal{A}$ 的特征空间边界）上所有关联算子 $A_\varkappa$ 的谱的并集，其中 $\mathcal{A}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上有界一致连续函数的 $C^*$-代数，关于平移不变且包含在无穷远处趋于零的函数。该结果适用于一大类奇异椭圆算子。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be a $C^*$-algebra of bounded uniformly continuous functions on $X=\mathbb{R}^d$ such that $\mathcal{A}$ is stable under translations and contains the continuous functions that have a limit at infinity. Denote $\mathcal{A}^\dagger$ the boundary of $X$ in the character space of $\mathcal{A}$. Then the crossed product $\mathscr{A}=\mathcal{A} times X$ of $\mathcal{A}$ by the natural action of $X$ on $\mathcal{A}$ is a well defined $C^*$-algebra and to each operator $A\in\mathscr{A}$ one may naturally associate a family of bounded operators $A_\varkappa$ on $L^2(X)$ indexed by the characters $\varkappa\in\mathcal{A}^\dagger$. We show that the essential spectrum of $A$ is the union of the spectra of the operators $A_\varkappa$. The applications cover very general classes of singular elliptic operators.

研究动机与目标

• 刻画特定类 $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 在 $\mathbb{R}^d$ 上的交叉积 $\mathscr{A} = \mathcal{A} \times \mathbb{R}^d$ 中算子的纯量谱。
• 分析 $\mathcal{A}$ 的特征空间边界 $\mathcal{A}^\dagger$ 在确定 $\mathscr{A}$ 中算子谱性质中的作用。
• 通过将奇异椭圆算子的纯量谱与 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上关联算子 $A_\varkappa$ 的谱联系起来，将谱理论推广至奇异椭圆算子。

提出的方法

• 将 $\mathcal{A}$ 定义为 $\mathbb{R}^d$ 上关于平移不变且包含在无穷远处趋于零的函数的有界一致连续函数的 $C^*$-代数。
• 利用 $\mathbb{R}^d$ 对 $\mathcal{A}$ 的自然作用构造交叉积 $\mathscr{A} = \mathcal{A} \times \mathbb{R}^d$，从而得到一个定义良好的 $C^*$-代数。
• 在 $\mathcal{A}$ 的特征空间中识别出 $X = \mathbb{R}^d$ 的边界 $\mathcal{A}^\dagger$，该边界参数化了 $\mathcal{A}$ 中函数的渐近行为。
• 将每个 $A \in \mathscr{A}$ 与一族定义在 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上的有界算子 $A_\varkappa$ 关联，其中 $\varkappa \in \mathcal{A}^\dagger$。
• 利用交叉积的表示理论和特征空间的结构，将 $A$ 的纯量谱与 $A_\varkappa$ 的谱的并集联系起来。
• 证明 $\sigma_{\text{ess}}(A) = \bigcup_{\varkappa \in \mathcal{A}^\dagger} \sigma(A_\varkappa)$，从而通过边界特征实现谱分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过算子的渐近行为刻画交叉积代数 $\mathscr{A} = \mathcal{A} \times \mathbb{R}^d$ 中算子的纯量谱？
• RQ2 $\mathcal{A}$ 的特征空间边界 $\mathcal{A}^\dagger$ 在确定 $\mathscr{A}$ 中算子谱性质中起什么作用？
• RQ3 能否通过 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上一族关联算子 $A_\varkappa$ 描述奇异椭圆算子的纯量谱？
• RQ4 是否存在以 $\varkappa \in \mathcal{A}^\dagger$ 索引的算子 $A_\varkappa$ 的谱为基准的 $\sigma_{\text{ess}}(A)$ 的谱分解？

主要发现

• 任意 $A \in \mathscr{A}$ 的纯量谱等于 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 上关联算子 $A_\varkappa$ 的谱的并集，其中 $\varkappa$ 遍历 $\mathcal{A}$ 的特征空间边界 $\mathcal{A}^\dagger$。
• 在给定 $\mathcal{A}$ 的条件下，交叉积 $\mathscr{A} = \mathcal{A} \times \mathbb{R}^d$ 的构造是良好定义的，并生成一个 $C^*$-代数。
• $\mathcal{A}^\dagger$ 捕捉了 $\mathcal{A}$ 中函数的渐近或“在无穷远处”的行为，这对谱分析至关重要。
• 该结果为一大类奇异椭圆算子提供了谱分解，将已知结果从正则情形推广至更广范围。
• 该方法依赖于通过 $\mathcal{A}^\dagger$ 中特征关联的诱导表示来表示 $\mathscr{A}$，从而将非紧致群作用与谱数据联系起来。