[论文解读] On the Euler discretization error of Brownian motion about random times

A. B. Dieker, Guido Lagos|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文分析了在抽样吸收边界击中事件和极值事件（例如有限或无限时间区间内的最小值）时，布朗运动的欧拉离散化误差的弱收敛性。推导了击中时间和位置的归一化离散化误差的极限分布，表明常数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ 作为这些极限分布的均值出现，统一了概率论与随机模拟中看似无关的结果。

ABSTRACT

In this paper we derive weak limits for the discretization errors of sampling barrier-hitting and extreme events of Brownian motion by using the Euler discretization simulation method. Specifically, we consider the Euler discretization approximation of Brownian motion to sample barrier-hitting events, i.e. hitting for the first time a deterministic "barrier" function; and to sample extreme events, i.e. attaining a minimum on a given compact time interval or unbounded closed time interval. For each case we study the discretization error between the actual time the event occurs versus the time the event occurs for the discretized path, and also the discretization error on the position of the Brownian motion at these times. We show limits in distribution for the discretization errors normalized by their convergence rate, and give closed-form analytic expressions for the limiting random variables. Additionally, we use these limits to study the asymptotic behaviour of Gaussian random walks in the following situations: (1.) the overshoot of a Gaussian walk above a barrier that goes to infinity; (2.) the minimum of a Gaussian walk compared to the minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, both up to the same time horizon that goes to infinity; and (3.) the global minimum of a Gaussian walk compared to the global minimum of the Brownian motion obtained when interpolating the Gaussian walk with Brownian bridges, when both have the same positive drift decreasing to zero. In deriving these limits in distribution we provide a unified framework to understand the relation between several papers where the constant $-ζ(1/2)/\sqrt{2 π}$ has appeared, where $ζ$ is the Riemann zeta function. In particular, we show that this constant is the mean of some of the limiting distributions we derive.

研究动机与目标

• 理解欧拉离散化在模拟布朗运动吸收边界击中事件与极值事件时的理论精度。
• 刻画此类事件中击中时间与位置的归一化离散化误差的弱极限。
• 统一概率论、统计学与金融工程文献中 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ 常数的出现。
• 通过布朗桥插值将结果扩展至高斯随机游走。
• 为关键随机事件中离散化误差的极限分布提供闭式表达式。

提出的方法

• 分析真实击中时间与路径首次穿过边界时的离散化时间点之间的离散化误差。
• 将击中时间误差按 $\sqrt{n}$ 归一化，并推导当 $n \to \infty$ 时的弱极限，其中 $n$ 为时间步数。
• 采用以真实最小值或击中时间为中心的局部化技术，研究离散路径在事件时间附近的性质。
• 通过测度变换与布朗桥插值，将离散高斯随机游走与连续布朗运动联系起来。
• 利用布朗增量的标度极限，推导事件时间处位置离散化误差的极限分布。
• 通过分析击中时间与位置偏差的联合行为，建立归一化误差的分布收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于确定性的、连续可微的、非减的边界，布朗运动击中时间的离散化误差的极限分布是什么？
• RQ2 在欧拉离散化下，布朗运动在击中时间的位置离散化误差的渐近行为如何？
• RQ3 布朗运动在 $[0, \infty)$ 上全局最小值的时间与位置的离散化误差的弱极限是什么？
• RQ4 当通过布朗桥插值时，高斯随机游走的首超量与最小值如何收敛至布朗运动的对应量？
• RQ5 为何常数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ 在涉及布朗运动与高斯随机游走的多种情境中反复出现，其概率解释是什么？

主要发现

• 击中时间的归一化离散化误差弱收敛于一个极限随机变量，其分布可通过布朗局部时与标度极限显式刻画。
• 击中时间处位置的归一化误差也弱收敛，其极限分布取决于布朗路径在边界附近的局部行为。
• 对于 $[0, \infty)$ 上的全局最小值，时间与位置的归一化离散化误差在分布上收敛至一个极限，其闭式表达式涉及黎曼 zeta 函数。
• 常数 $-\zeta(1/2)/\sqrt{2\pi}$ 被确定为常数边界击中时间离散化误差极限分布的均值。
• 高斯随机游走对增长边界之上的首超量的渐近行为收敛至与布朗运动情形下离散化误差相同的极限分布。
• 高斯随机游走的最小值与通过布朗桥插值得到的布朗运动的最小值，在时间范围增大时，其分布收敛至同一极限，且离散化误差捕捉了二者之间的差异。