[论文解读] On the Euler-Maruyama approximation for one-dimensional stochastic differential equations with irregular coefficients

Hoang-Long Ngo, Dai Taguchi|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 25

一句话总结

本文建立了当漂移项不连续且扩散项为 Hölder 连续时，一维 SDE 中 Euler-Maruyama 格式的强收敛速率。通过引入一种新颖的去漂移变换并利用 Yamada-Watanabe 类型估计，作者证明了在一大类漂移项不连续或非单边 Lipschitz 的 SDE 中，$L^p$-上确界范数下的收敛速率为 $1/2$，显著扩展了在系数正则性假设更弱条件下的先前结果。

ABSTRACT

We study the strong rates of the Euler-Maruyama approximation for one dimensional stochastic differential equations whose drift coefficient may be neither continuous nor one-sided Lipschitz and diffusion coefficient is Hölder continuous. Especially, we show that the strong rate of the Euler-Maruyama approximation is 1/2 for a large class of equations whose drift is not continuous. We also provide the strong rate for equations whose drift is Hölder continuous and diffusion is nonconstant

研究动机与目标

• 分析一维 SDE 中 Euler-Maruyama 近似在系数不规则时的强收敛速率，特别是当漂移项不连续且非单边 Lipschitz 时。
• 将现有收敛结果扩展至漂移系数不满足标准 Lipschitz 或单边 Lipschitz 条件的情形。
• 在系数正则性假设最小化的前提下，建立 $L^p$-上确界范数与 $L^1$-上确界范数下的收敛速率。
• 基于一种去漂移变换，构建一种新的分析框架，以处理非连续漂移和 Hölder 连续扩散。

提出的方法

• 引入一种新的去漂移变换，将不规则漂移与扩散分量解耦，从而可应用标准逼近技术。
• 应用 Yamada-Watanabe 类型逼近方法，控制由 Hölder 连续扩散系数引起的误差。
• 通过将漂移分解为有变差部分 $b_A$ 和 Hölder 连续部分 $b_H$ 来处理其不规则性。
• 利用 Itô 等距公式和 Gronwall 型不等式建立矩估计，以控制逼近误差的 $L^p$-范数。
• 采用局部化技术并仔细追踪常数，以处理 $L^1$-范数及当 $\alpha = 0$ 时的对数收敛速率。
• 利用随机积分界和矩不等式（如引理 3.5）在 $b$ 和 $\sigma$ 的正则性条件各异时推导收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有不连续漂移和 Hölder 连续扩散的 SDE，Euler-Maruyama 格式的强收敛速率是多少？
• RQ2 当漂移项不连续或非单边 Lipschitz 时，能否保持 $1/2$ 的收敛速率？
• RQ3 当漂移项包含有变差和 Hölder 正则性分量时，如何控制误差？
• RQ4 在标准 Lipschitz 假设失效时，哪些分析技术能有效处理不规则系数？
• RQ5 在系数正则性假设最小化的前提下，能否实现 $L^p$-上确界范数下的收敛？

主要发现

• 对于一大类漂移不连续且非单边 Lipschitz 的 SDE，Euler-Maruyama 格式的强收敛速率在 $L^p$-上确界范数下为 $1/2$。
• 对于具有 Hölder 连续漂移（阶数 $\beta \in (0,1]$）且非恒定 Hölder 连续扩散的 SDE，收敛速率为 $\beta/2$。
• 当扩散系数为 $(\alpha + 1/2)$-Hölder 连续（$\alpha \in (0,1/2]$）时，$L^p$-上确界范数下的收敛速率为 $1/2 \wedge \frac{p\beta}{2} \wedge p\alpha$。
• 当 $\alpha = 0$ 时，$L^1$-上确界范数下的收敛速率为 $1/\log n$，表明由于缺乏扩散正则性，收敛速度为对数级。
• 去漂移变换使得即使漂移项不属于 $L^1(\mathbb{R})$，也能推导出 $L^p$-范数界，克服了先前局部化方法的局限性。
• 该方法避免依赖上/下解或单边 Lipschitz 条件，提供了比以往方法更通用的分析框架。