[论文解读] On the evolution of random graphs on spaces of negative curvature

Nikolaos Fountoulakis|arXiv (Cornell University)|May 14, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用 10

一句话总结

本文对双曲空间上的随机几何图模型进行了严格分析，其中边的形成取决于双曲距离和一个类似温度的参数 β。在 β=1 处存在相变：当 β>1 时，度数以概率有界，且具有幂律尾部；当 β<1 时，期望度数随 N 多项式增长；当 β=1 时，度数以对数方式增长。

ABSTRACT

In this work, we study a family of random geometric graphs on hyperbolic spaces. In this setting, N points are chosen randomly on a hyperbolic space and any two of them are joined by an edge with probability that depends on their hyperbolic distance, independently of every other pair. In particular, when the positions of the points have been fixed, the distribution over the set of graphs on these points is the Boltzmann distribution, where the Hamiltonian is given by the sum of weighted indicator functions for each pair of points, with the weight being proportional to a real parameter β&gt;0 (interpreted as the inverse temperature) as well as to the hyperbolic distance between the corresponding points. This class of random graphs was introduced by Krioukov et al. We provide a rigorous analysis of aspects of this model and its dependence on the parameter β, verifying some of their observations. We show that a phase transition occurs around β=1. More specifically, we show that when β&gt; 1 the degree of a typical vertex is bounded in probability (in fact it follows a distribution which for large values exhibits a power-law tail whose exponent depends only on the curvature of the space), whereas for β&lt;1 the degree is a random variable whose expected value grows polynomially in N. When β= 1, we establish logarithmic growth. For the case β&gt; 1, we establish a connection with a class of inhomogeneous random graphs known as the Chung-Lu model. Assume that we use the Poincaré disc representation of a hyperbolic space. If we condition on the distance of each one of the points from the origin, then the probability that two given points are adjacent is expressed through the kernel of this inhomogeneous random graph.

研究动机与目标

• 为双曲空间上的随机几何图模型提供严格的数学分析，此前仅以非严格方式研究过。
• 研究参数 β（可解释为逆温度）如何控制所生成随机图的结构特性。
• 建立图的度分布和连通性行为在 β=1 处存在相变的证据。
• 在对径向距离进行条件化的情况下，将该模型与 Chung-Lu 非齐次随机图模型关联起来。
• 刻画不同 β 范围下顶点度数的渐近行为。

提出的方法

• 通过玻尔兹曼分布建模随机图，其中哈密顿量为加权边指示变量之和，权重与 β 和双曲距离成正比。
• 使用双曲空间的庞加莱圆盘表示，曲率为 −ζ²，并将 N 个点按径向密度 ρ(r) = α sinh(αr)/(cosh(αR)−1) 分布，其中 N = exp(ζR/2)。
• 定义两点 u,v 之间的边概率为 p_{u,v} = 1 / (exp(βζ/2 (d(u,v)−R)) + 1)，其随双曲距离增加而衰减。
• 通过对顶点的径向距离进行条件化，推导出与 Chung-Lu 模型的联系，其中边概率取决于由径向位置导出的顶点权重。
• 通过在顶点对上使用并集界，结合对角度和径向积分的估计，控制边概率的偏差。
• 对涉及 e^{ζt/2}ρ(t) 和 ρ(t) 的积分进行渐近分析，以界定期望度数和尾部概率，尤其针对 β>1 和 β<1 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 N→∞ 时，双曲空间上随机几何图模型中典型顶点的度分布的渐近行为如何，取决于参数 β？
• RQ2 在 β=1 处是否发生相变？若发生，它如何影响期望度数和连通性结构？
• RQ3 当 β>1 时，该模型与 Chung-Lu 非齐次随机图模型有何关联？对径向距离进行条件化的意义是什么？
• RQ4 对于不同 β 值，图的直径、聚类系数和连通分量结构的行为如何？
• RQ5 当 β≤1 时图是否连通？在该参数范围内图是否可能为哈密顿图？

主要发现

• 在 β=1 处发生相变：当 β>1 时，典型顶点的度数以概率有界，且其尾部服从幂律分布，指数仅取决于曲率 ζ。
• 当 β<1 时，典型顶点的期望度数随 N 多项式增长，具体为 O(N^{1−βζ/2})，在给定缩放下成立。
• 当 β=1 时，典型顶点的期望度数随 N 对数增长，即 Θ(log N)。
• 当 β>1 时，通过条件化径向距离，可将该模型与 Chung-Lu 模型关联，其中边概率由径向位置导出的核决定。
• 顶点与远距离顶点相连的概率随距离呈指数衰减，且该衰减受 β 调制，导致观察到的相变。
• 对潜在邻居使用并集界表明，顶点在远距离角度区域存在邻居的概率随 N→∞ 而趋于零，支持了 β>1 时图的稀疏性和幂律行为。