[论文解读] On the Exact Amount of Missing Information that makes Finding Possible Winners Hard

Palash Dey, Neeldhara Misra|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

Game Theory and Voting Systems被引用 4

一句话总结

该论文确定了在部分投票中缺失成对比较的精确阈值，该阈值使得广泛类别的投票规则（包括计分规则，如Borda、 plurality，Copelandα，maximin，以及Bucklin）的Possible Winner问题变为NP完全。论文证明，对于其中许多规则，即使每票仅缺失一对比较，该问题仍为NP完全；而当不存在此类缺失对时，问题则变为多项式时间可解，从而为不完整信息投票系统建立了精确的计算边界。

ABSTRACT

We consider election scenarios with incomplete information, a situation that arises often in practice. There are several models of incomplete information and accordingly, different notions of outcomes of such elections. In one well-studied model of incompleteness, the votes are given by partial orders over the candidates. In this context we can frame the problem of finding a possible winner, which involves determining whether a given candidate wins in at least one completion of a given set of partial votes for a specific voting rule. The possible winner problem is well-known to be NP-complete in general, and it is in fact known to be NP-complete for several voting rules where the number of undetermined pairs in every vote is bounded only by some constant. In this paper, we address the question of determining precisely the smallest number of undetermined pairs for which the possible winner problem remains NP-complete. In particular, we find the exact values of $t$ for which the possible winner problem transitions to being NP-complete from being in P, where $t$ is the maximum number of undetermined pairs in every vote. We demonstrate tight results for a broad subclass of scoring rules which includes all the commonly used scoring rules (such as plurality, veto, Borda, $k$-approval, and so on), Copeland$^α$ for every $α\in[0,1]$, maximin, and Bucklin voting rules. A somewhat surprising aspect of our results is that for many of these rules, the possible winner problem turns out to be hard even if every vote has at most one undetermined pair of candidates.

研究动机与目标

• 确定每票中未确定成对比较的精确数量，使得常见投票规则下的Possible Winner问题变为NP完全。
• 建立紧致的计算边界——具体而言，即缺失信息的最小阈值，超过该阈值后，问题从P类转变为NP完全。
• 通过刻画t（每票中未确定对的最大数量）的精确值，解决广泛类投票规则的复杂度二分法，该值即为NP完全性出现的临界点。
• 基于部分投票中缺失成对比较的数量，对Possible Winner问题的复杂度进行完整分类。

提出的方法

• 作者分析具有t个未确定对的部分投票结构，并从已知的NP完全问题（如三维匹配）构造归约，以证明问题的难解性。
• 他们定义了一类“平滑”计分规则，其中m+1名候选人的计分向量通过在m名候选人计分向量的端点进行复制或扩展而导出。
• 针对每种投票规则，基于计分向量的结构（特别是是否存在如(α+1,α+1,α)或(α+2,α+1,α+1,α)等模式）进行案例分析，以确定阈值t。
• 他们使用最大流技术与组合论证来建模候选人排名，并验证只有在部分投票完成特定形式时，指定候选人c才能获胜。
• 他们设计了一种从三维匹配实例到具有受控缺失信息的Possible Winner实例的变换，保持等价性。
• 他们通过在精心构造的扩展中优先考虑c，并利用k-approval算法，证明当t ≤ 1时，某些规则的问题可在多项式时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于计分规则，每票中未确定成对比较的最小数量是多少，使得Possible Winner问题变为NP完全？
• RQ2 对于哪些计分规则类别，即使每票仅含一对未确定比较，该问题仍保持NP完全？
• RQ3 复杂度阈值是否依赖于计分向量的结构，例如重复或连续的计分差？
• RQ4 对于Copelandα、maximin和Bucklin投票规则，能否仅通过一个缺失的成对比较即建立Possible Winner问题的NP完全性？
• RQ5 是否存在一个精确的t，使得对于所有考虑的投票规则，当t ≤ t₀时问题属于P，而当t ≥ t₀ + 1时问题为NP完全？

主要发现

• 对于所有具有两个不同非零连续计分差的计分规则，即使每票最多仅有一对未确定比较（t ≤ 1），Possible Winner问题仍为NP完全。
• 对于包含模式(α+1, α+1, α)的计分规则，当t ≥ 2时问题为NP完全，而当t ≤ 1时问题为P。
• 对于具有模式(α+2, α+1, α+1, α)的计分规则，当t ≥ 3时问题为NP完全，而当t ≤ 2时问题为P。
• 对于k-approval和k-veto规则（k > 1），当t ≥ 4时问题为NP完全，而当t ≤ 3时问题为P。
• 对于计分规则(2,1,1,…,1,0)，当t ≥ m−1时问题为NP完全，而当t ≤ m−2时问题为P。
• 对于Copelandα、maximin和Bucklin投票规则，即使t ≤ 2，问题仍为NP完全，表明仅两个缺失比较即足以引发计算难度。