[论文解读] On the exact discrete Lagrangian function for variational integrators: theory and applications

Juan Carlos Marrero, David Martı́n de Diego+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Numerical methods for differential equations参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文通过李群胚和李代数胚，严格构建了变分积分器的精确离散拉格朗日量，为在不同力学系统中分析几何数值积分提供统一框架。关键贡献是变分误差分析，量化了精确轨迹与离散轨迹之间的差异，其应用涵盖对称空间上的欧拉-庞加莱方程和拉格朗日-庞加莱方程。

ABSTRACT

In this paper, we will give a rigorous construction of the exact discrete Lagrangian formulation associated to a continuous Lagrangian problem. Moreover, we work in the setting of Lie groupoids and Lie algebroids which is enough general to simultaneously cover several cases of interest in discrete and continuous descriptions as, for instance, Euler-Lagrange equations, Euler-Poincaré equations, Lagrange-Poincaré equations... The construction of an exact discrete Lagrangian is of considerable interest for the analysis of the error between an exact trajectory and the discrete trajectory derived by a variational integrator.

研究动机与目标

• 通过李群胚和李代数胚，发展一种通用的、几何化的精确离散拉格朗日量构造方法。
• 统一处理不同力学系统（包括欧拉-庞加莱方程和拉格朗日-庞加莱方程）的变分积分器。
• 通过比较精确连续轨迹与变分积分器生成的离散轨迹，实现精确的变分误差分析。
• 在李代数胚上建立二阶微分方程的凸性定理，确保离散作用量原理的适定性。
• 在李群胚框架下，提供离散欧拉-拉格朗日方程和离散勒让德变换的内在几何表达式。

提出的方法

• 在李代数胚和李群胚上形式化连续与离散拉格朗日力学，推广标准的切丛和李群上的力学。
• 将精确离散拉格朗日量定义为连接配置空间中两点的精确解曲线沿连续拉格朗日量的积分。
• 利用李代数胚及其关联的左不变向量场理论，推导离散动力学的内在表达式。
• 应用李代数胚上二阶微分方程的凸性定理，保证离散欧拉-拉格朗日方程解的存在性与唯一性。
• 在李群胚框架下构造离散勒让德变换，并分析离散演化算子的辛性。
• 通过比较精确离散拉格朗日量与变分积分器的行动和，执行变分误差分析，量化局部截断误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李群胚和李代数胚的一般设定下，如何严格构建精确离散拉格朗日量？
• RQ2 在此框架下，离散欧拉-拉格朗日方程解的存在性与唯一性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 精确离散拉格朗日量如何实现对变分积分器的精确变分误差分析？
• RQ4 李群胚与李代数胚形式化如何统一处理不同力学系统（如欧拉-庞加莱方程和拉格朗日-庞加莱方程）？
• RQ5 何种凸性条件可确保李代数胚上离散拉格朗日量公式的正则性与稳定性？

主要发现

• 精确离散拉格朗日量被构造为连续系统精确解曲线的行动积分，为误差分析提供基准。
• 由精确离散拉格朗日量导出的离散欧拉-拉格朗日方程可重现精确动力学，其误差受积分器局部截断误差的有界控制。
• 李代数胚上二阶微分方程的凸性定理确保了离散变分问题解的正则性与唯一性。
• 离散勒让德变换定义良好且保持辛性，从而保留了连续系统的几何结构。
• 该框架成功推广至欧拉-庞加莱方程与拉格朗日-庞加莱方程，对矩阵李群与平凡主丛提供了显式构造。
• 变分误差分析表明，精确轨迹与离散轨迹之间的误差由李群胚的几何结构和拉格朗日量的正则性定量控制。