[论文解读] On the excedance number of colored permutation groups

Eli Bagno, David Garber|ArXiv.org|May 20, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文将涉及超越、不动点和循环计数的欧拉多项式恒等式从对称群推广到彩色置换群 $G_{r,n}$ 和 $D_n$ 型考克斯eter群。它在彩色置换上引入了两种不同的排序方式——绝对排序与颜色感知排序，却出人意料地发现两者生成函数公式完全相同，从而为超越、不动点和循环的多分布（当 $s = -1$ 时）给出了闭式表达。关键结果是：在两种排序下，$G_{r,n}$ 和 $D_n$ 的生成函数在这些统计量下完全一致，拓展了科萨雷洛夫与曾的经典结果。

ABSTRACT

We generalize the results of Ksavrelof and Zeng about the multidistribution of the excedance number of $S_n$ with some natural parameters to the colored permutation group and to the Coxeter group of type $D$. We define two different orders on these groups which induce two different excedance numbers. Surprisingly, in the case of the colored permutation group, we get the same generalized formulas for both orders.

研究动机与目标

• 将超越、不动点和循环计数的多分布从 $S_n$ 推广至彩色置换群 $G_{r,n}$ 和考克斯eter群 $D_n$。
• 在 $G_{r,n}$ 的字母表上定义两种不同的排序：一种忽略颜色（绝对排序），另一种尊重颜色结构（颜色感知排序）。
• 研究在两种排序下，超越统计量的广义生成函数是否不同。
• 当 $s = -1$ 时，推导生成函数 $P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ 和 $P_{D_n}(q,t,s)$ 的闭式表达，特别是 $t=1$ 和 $t=0$ 的情形。

提出的方法

• 在字母表 $Σ = \{1, \dots, n, \bar{1}, \dots, \bar{n}, \dots, 1^{[r-1]}, \dots, n^{[r-1]}\}$ 上定义两种排序：绝对排序与颜色感知（Clr）排序。
• 基于每种排序定义超越数 $\mathrm{exc}(\pi)$：$\mathrm{exc}^{\rm Abs}(\pi)$ 和 $\mathrm{exc}^{\rm Clr}(\pi)$。
• 为两种排序构造生成函数 $P_{G_{r,n}}(q,t,s) = \sum_{\pi \in G_{r,n}} q^{\mathrm{exc}(\pi)} t^{\mathrm{fix}(\pi)} s^{\mathrm{cyc}(\pi)}$。
• 通过基于最后一个数字和循环结构将 $G_{r,n}$ 和 $D_n$ 递归分解为子集，推导生成函数的递推关系。
• 应用消去对合与子集间的双射，将 $P_{G_{r,n}}(q,t,s)$ 与 $P_{G_{r,n-1}}(q,t,s)$ 及 $P_{D_n}(q,t,s)$ 与 $P_{D_{n-1}}(q,t,s)$ 关联。
• 求解所得递推关系，得到 $P_{G_{r,n}}(q,1,-1)$、$P_{G_{r,n}}(q,0,-1)$、$P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1)$ 和 $P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1)$ 的闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $G_{r,n}$ 的字母表上，选择绝对排序还是颜色感知排序，会影响 $s = -1$ 时超越、不动点和循环计数的生成函数吗？
• RQ2 能否通过在彩色字母表上使用两种不同的排序方式，将 $S_n$ 在 $s = -1$ 时的经典欧拉恒等式推广至 $G_{r,n}$ 和 $D_n$？
• RQ3 尽管超越的定义不同，为何在 $G_{r,n}$ 中两种排序下会得出相同的闭式公式？
• RQ4 在颜色感知排序和绝对排序下，考克斯eter型 $D_n$ 群的生成函数 $P_{D_n}(q,t,s)$ 的结构是怎样的？
• RQ5 如何通过 $G_{r,n}$ 和 $D_n$ 的递归结构，推导出 $s = -1$ 时生成函数的闭式表达？

主要发现

• 对于彩色置换群 $G_{r,n}$，在绝对排序下，生成函数满足 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$，从而得到闭式 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,1,-1) = -\frac{(q^r - 1)^n}{q - 1}$。
• 对于 $G_{r,n}$，在颜色感知排序下，生成函数满足 $P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^r - 1) P_{G_{r,n-1}}(q,1,-1)$，与绝对排序情形得到相同的闭式。
• 对于 $G_{r,n}$ 中的错位置换，两种排序均给出 $P_{G_{r,n}}^{\rm Abs}(q,0,-1) = P_{G_{r,n}}^{\rm Clr}(q,0,-1) = -q[r]_q^n [n-1]_q$，其中 $[r]_q = \frac{1 - q^r}{1 - q}$。
• 对于 $D_n$ 在颜色感知排序下，$P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (q^2 - 1) P_{D_{n-1}}^{\rm Clr}(q,1,-1)$，结果为 $P_{D_n}^{\rm Clr}(q,1,-1) = (1 - q^2)^{n-1}$。
• 对于 $D_n$ 在绝对排序下，$P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = (q - 1)(P_{D_{n-1}}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) + q P_{D_{n-1}^c}^{{\rm Abs}}(q,1,-1))$，从而得到 $P_{D_n}^{{\rm Abs}}(q,1,-1) = -\frac{1}{2}(q - 1)^{n-1} \left( (1 + q)^n + (1 - q)^n \right)$。
• 在 $s = -1$ 时，$G_{r,n}$ 和 $D_n$ 的生成函数推广了 $S_n$ 的经典结果（科萨雷洛夫与曾的研究），且无论在 $G_{r,n}$ 中选择何种排序，公式均保持一致。