[论文解读] On The Existence of an Invariant Measure for Isotropic Diffusions in Random Environment

Benjamin Fehrman|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文在平稳性、有限范围依赖性和受限各向同性条件下，证明了在 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上的随机环境中，作为布朗运动的小扰动的各向同性扩散过程存在唯一的不变测度。关键结果是过程的分布以几乎必然方式收敛到一个关于基础概率测度 $\mathbb{P}$ 绝对连续的唯一不变测度 $\pi$，从而为局部可测初始数据提供了广义的均质化结果。

ABSTRACT

The results of this paper build upon those first obtained by Sznitman and Zeitouni in [11]. We establish, for spacial dimensions greater than two, the existence of a unique invariant measure for isotropic diffusions in random environment which are small perturbations of Brownian motion. Furthermore, we establish a general homogenization result for initial data which are locally measurable with respect to the coefficients.

研究动机与目标

• 在 $d \geq 3$ 的 $\mathbb{R}^d$ 上，建立随机环境中各向同性扩散过程存在唯一不变测度。
• 将 Sznitman 和 Zeitouni [11] 的结果推广到布朗运动的小扰动的连续时间扩散过程。
• 为相对于随机系数局部可测的初始数据，证明一个广义的均质化结果。
• 将不变测度 $\pi$ 表征为沿指数增长时间尺度的后向柯尔莫哥洛夫方程解的极限。

提出的方法

• 分析后向柯尔莫哥洛夫方程解 $u(x,t,\omega)$ 在初始数据 $f_E(x,\omega) = \mathbf{1}_E(\tau_x\omega)$ 下的长时间行为，其中 $E \in \mathcal{F}$。
• 将不变测度 $\pi(E)$ 识别为沿指数增长时间尺度序列 $L_n^2$ 的极限 $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[u_E(0, L_n^2, \omega)]$。
• 利用 [11] 中的耦合技术，证明在大空间和时间尺度下，扩散过程以高概率与确定性布朗运动耦合。
• 应用环境群 $\{\tau_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ 的遍历性，证明 $\pi$ 与 $\mathbb{P}$ 相互绝对连续，且 $\pi$ 是 $\Omega$ 上规范马尔可夫过程的遍历测度。
• 建立几乎必然收敛 $\lim_{t \to \infty} u_E(0,t,\omega) = \pi(E)$，其中 $E$ 属于其示性函数满足有限范围依赖条件的一类集合。
• 通过后向方程的时间积分，将解与不变测度关联，从而推导出具有振荡右端项的方程的均质化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平稳性和有限范围依赖条件下，$\mathbb{R}^d$ ($d \geq 3$) 上的随机环境中各向同性扩散过程是否存在唯一的不变测度？
• RQ2 不变测度 $\pi$ 能否被表征为沿时间尺度序列增长的过程分布的极限？
• RQ3 不变测度 $\pi$ 是否关于基础概率测度 $\mathbb{P}$ 绝对连续？若环境群是遍历的，$\pi$ 与 $\mathbb{P}$ 是否相互绝对连续？
• RQ4 对于满足局部可测性的初始数据类，过程分布向 $\pi$ 的收敛是否以几乎必然方式成立？
• RQ5 能否利用不变测度 $\pi$ 建立具有振荡系数的抛物型和椭圆型方程的均质化？

主要发现

• 在 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上存在唯一的不变测度 $\pi$，其关于 $\mathbb{P}$ 绝对连续，且对所有 $t \geq 0$ 和 $E \in \mathcal{F}$ 满足 $\pi(E) = \int_\Omega P_t(\omega, E) \, d\pi$。
• 若环境群 $\{\tau_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ 是遍历的，则 $\pi$ 与 $\mathbb{P}$ 相互绝对连续，并在 $\Omega$ 上定义了一个遍历概率测度。
• $\pi(E)$ 被识别为沿指数增长时间尺度 $L_n^2$ 的极限 $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[u_E(0, L_n^2, \omega)]$，其收敛性在命题 3.10–3.12 中得到证明。
• 对于满足有限范围依赖条件的一类集合 $E$，几乎必然收敛 $\lim_{t \to \infty} u_E(0,t,\omega) = \pi(E)$ 在依赖于 $E$ 的全概率子集上成立，如命题 4.3 所示。
• 具有振荡右端项 $f(x/\epsilon, \omega)$ 的抛物型方程的均质化在空间和时间上局部一致成立，且当 $\epsilon \to 0$ 时有 $u^\epsilon(x,t,\omega) \to t \overline{\pi}(f)$，其中 $\overline{\pi}(f) = \int_\Omega f(0,\omega) \, d\pi$，如定理 5.2 所示。
• 具有振荡右端项 $f(x/\epsilon, \omega)$ 的椭圆型方程的均质化在空间上局部一致成立，且当 $\epsilon \to 0$ 时有 $u^\epsilon(x,\omega) \to \overline{\pi}(f)$，其中 $\overline{\pi}(f) = \int_\Omega f(0,\omega) \, d\pi$，如定理 5.3 所示。