[论文解读] On the existence of conic Kahler-Einstein metrics

Gang Tian, Feng Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 13

一句话总结

本论文在对数 K-多稳定性条件下，通过变分逼近方法克服了锥型除子缺乏半正则性的问题，证明了对数 Fano 流形上锥型 Kähler-Einstein 度量的存在性。关键结果确认了锥型 Kähler-Einstein 度量的对数 K-稳定性条件的逆命题，将 Yau-Tian-Donaldson 猜想推广至具有多个除子和一般锥角的锥型情形。

ABSTRACT

In this paper, we prove the conic version of YTD conjecture on log Fano manifolds.

研究动机与目标

• 证明在具有多个除子和一般锥角的对数 Fano 流形上，锥型 Kähler-Einstein 度量的存在性。
• 建立锥型 Kähler-Einstein 度量的对数 K-多稳定性条件的逆命题，将 Yau-Tian-Donaldson 猜想推广至锥型情形。
• 通过使用变分方法而非连续性方法，克服在锥型度量逼近中除子非半正则性的技术难题。
• 在锥型设定下推广部分 $C^0$ 估计，并应用 Cheeger-Colding 理论于逼近度量的奇异极限。
• 证明在对数 K-多稳定性下，对数 Futaki 量为零，从而确保锥型 Kähler-Einstein 方程解的存在性。

提出的方法

• 通过一族具有下有界里奇曲率的光滑度量来逼近锥型 Kähler-Einstein 度量，避免依赖于除子的半正则性。
• 使用变分方法构造满足锥型 Kähler-Einstein 方程的度量序列，替代先前工作中使用的连续性方法。
• 应用 Cheeger-Colding 和 Cheeger-Colding-Tian 理论分析逼近度量的 Gromov-Hausdorff 极限。
• 在锥型设定下建立部分 $C^0$ 估计，尽管锥角不趋于 $2\pi$，而是趋于 $2\beta_i$，因此需对 Tian 早期工作的技术进行适应性调整。
• 使用一参数族度量 $\omega_s$，并分析泛函 $\int_M X(f_s) \omega_s^n$ 的演化，证明其关于 $s$ 为常数，从而推出锥型 Kähler-Einstein 方程解的存在性。
• 证明在对数 K-多稳定性下，对数 Futaki 量为零，利用该泛函的常数性以及在 $s=1$ 处极限为零的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数 K-多稳定性是否蕴含在对数 Fano 流形中沿每个除子 $D_i$ 存在锥角为 $2\pi\beta^i$ 的锥型 Kähler-Einstein 度量？
• RQ2 当锥型除子非半正则时，是否可将连续性方法替换为变分方法？
• RQ3 当锥角不趋于 $2\pi$ 时，如何在锥型设定下适应部分 $C^0$ 估计？
• RQ4 对数 Futaki 量在锥型 Kähler-Einstein 度量存在性中起何作用？其在对数 K-多稳定性下如何为零？
• RQ5 逼近度量的 Gromov-Hausdorff 极限是否能恢复出一个弱锥型 Kähler-Einstein 度量？这对存在性结果有何含义？

主要发现

• 主要结果确认：若 $(M, \sum_{i=1}^k (1 - \beta^i) D_i)$ 为对数 K-多稳定，则沿每个 $D_i$ 存在锥角为 $2\pi\beta^i$ 的锥型 Kähler-Einstein 度量。
• 变分方法成功替代了在缺乏半正则性时的连续性方法，使得逼近度量的构造成为可能。
• 尽管锥角不趋于 $2\pi$，部分 $C^0$ 估计仍在锥型设定下得以建立。
• 泛函 $\int_M X(f_s) \omega_s^n$ 被证明在 $s$ 上为常数，从而推出锥型 Kähler-Einstein 方程解的存在性。
• 在对数 K-多稳定性下，对数 Futaki 量为零，这是锥型 Kähler-Einstein 度量存在的必要条件，且通过变分方法证明其充分性。
• 解的存在性通过证明集合 $I$（即所有 $T \in [0,1]$ 使得度量存在的 $T$）既是开集又是闭集，从而 $I = [0,1]$，故在 $T=1$ 处存在解。