[论文解读] On the existence of D-solutions of the steady-state Navier-Stokes equations in plane exterior domains

Antonio Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文在边界数据条件弱化的情况下，建立了外 Lipschitz 域中稳态二维 Navier-Stokes 方程 D-解的存在性：具体而言，当边界数据 $\boldsymbol{a} \in L^2(\partial\Omega)$ 满足 $\left|\frac{1}{2\pi}\int_{\partial\Omega} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}\right| < 1$ 时，以及在 $C^{1,1}$ 域中边界数据 $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ 时，均成立。此外，本文还证明了速度与压力梯度的精确渐近衰减估计，并表明零通量条件意味着速度在无穷远处收敛于一个常向量。

ABSTRACT

We prove that the steady--state Navier--Stokes problem in a plane Lipschitz domain $Ω$ exterior to a bounded and simply connected set has a $D$-solution provided the boundary datum $\a \in L^2(\partialΩ)$ satisfies ${1\over 2π}|\int_{\partialΩ}\a\cdot |&lt;1$. If $Ω$ is of class $C^{1,1}$, we can assume $\a\in W^{-1/4,4}(\partialΩ)$. Moreover, we show that for every $D$--solution $(\u,p)$ of the Navier--Stokes equations it holds $ abla p = o(r^{-1}), abla_k p = O(r^{ε-3/2}), abla_k\u = O(r^{ε-3/4})$, for all $k\in{\Bbb N}\setminus\{1\}$ and for all positive $ε$, and if the flux of $\u$ through a circumference surrounding $\complementΩ$ is zero, then there is a constant vector $\u_0$ such that $\u=\u_0+o(1)$.

研究动机与目标

• 在先前已知条件更弱的前提下，证明外 Lipschitz 域中稳态二维 Navier-Stokes 方程 D-解的存在性。
• 将存在性结果推广至 $C^{1,1}$ 域，并在 $W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ 中的临界正则性边界数据下成立。
• 建立 D-解中速度与压力梯度的精确渐近衰减估计。
• 证明通过大圆周的通量为零意味着速度在无穷远处收敛于一个常向量。

提出的方法

• 使用 J. Leray 的入侵域方法，将 Leray 解构造为有界域中解的极限。
• 应用加权 $L^2$ 估计与外域中 Stokes 算子的最大 $L^p$-正则性理论。
• 利用泛函 $\kappa = \sup_{\|\boldsymbol{\varphi}\|_{D^{1,2}}=1} \left| \int_{\mathbb{R}^2} (\log r) \, \text{div}(\boldsymbol{\varphi} \cdot \nabla \boldsymbol{\varphi}) \right|$ 控制非线性项，并证明 $\kappa \leq 1$。
• 通过外域中的插值与加权 Sobolev 嵌入建立衰减估计。
• 在无穷远处应用 Picone 的平均值定理与对称性论证，推导出在零通量条件下速度的渐近常数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边界数据 $\boldsymbol{a}$ 满足何种条件时，外 Lipschitz 域中稳态二维 Navier-Stokes 方程存在 D-解？
• RQ2 该存在性结果能否推广至 $C^{1,1}$ 域，并在更弱的边界数据如 $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ 下成立？
• RQ3 D-解中 $\nabla p$ 与 $\nabla_k \boldsymbol{u}$（$k \geq 2$）的精确渐近衰减速率为何？
• RQ4 若速度通过包含障碍物的大圆周的通量为零，是否意味着 $\boldsymbol{u}$ 在无穷远处收敛于一个常向量？

主要发现

• 在平面外 Lipschitz 域中，若 $\boldsymbol{a} \in L^2(\partial\Omega)$ 且 $\left|\frac{1}{2\pi}\int_{\partial\Omega} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n}\right| < 1$，则稳态二维 Navier-Stokes 方程存在 D-解。
• 对于 $C^{1,1}$ 域，当边界数据满足更弱条件 $\boldsymbol{a} \in W^{-1/4,4}(\partial\Omega)$ 时，存在性结果依然成立。
• 对任意 D-解，有 $\nabla p = o(r^{-1})$ 且 $\nabla_k p = O(r^{\epsilon - 3/2})$，$\nabla_k \boldsymbol{u} = O(r^{\epsilon - 3/4})$，对所有 $k \geq 2$ 和 $\epsilon > 0$ 成立。
• 若速度通过包含障碍物的大圆周的通量为零，则 $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}_0 + o(1)$，其中 $\boldsymbol{u}_0$ 为某常向量。
• 本文证明了 $\kappa \leq 1$，该结果改进了早期工作中的小量条件，从而允许对 $\boldsymbol{a}$ 的假设更弱。
• 结果推广并改进了先前的渐近估计，表明在 $D$-解框架下，$\nabla_k p = o(1)$ 与 $\nabla_k \boldsymbol{u} = o(1)$ 对所有 $k \in \mathbb{N}$ 成立。