[论文解读] On the existence of distinct lengths zero-sum subsequences

Benjamin Girard|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了有限阿贝尔p-群中短正规序列的性质，证明了W. Gao关于存在不同长度零和子序列的猜想。通过应用Alon的组合零点定理以及Alon、Friedland和Kalai的结果，作者在初等p-群中建立了此类子序列的存在性，并将结果推广到一大类p-群。

ABSTRACT

In this note, we obtain a characterization of short normal sequences in a finite Abelian p-group, thus answering positively a conjecture of W. Gao for a variety of such groups. Our main result is deduced from a theorem of N. Alon, S. Friedland and G. Kalai, originally proved so as to study the existence of regular graphs in almost regular graphs. In the special case of elementary p-groups, Gao’s conjecture is solved using N. Alon’s Combinatorial Nullstellensatz.

研究动机与目标

• 解决W. Gao关于有限阿贝尔p-群中存在不同长度零和子序列的猜想。
• 表征有限阿贝尔p-群中的短正规序列，特别是初等p-群中的情况。
• 建立在这些群中必须存在不同长度零和子序列的条件。
• 将Alon的组合零点定理在阿贝尔群的加法组合问题中的适用性加以拓展。

提出的方法

• 以Alon、Friedland和Kalai关于几乎正则图中正则子图的定理作为基础工具。
• 应用N. Alon的组合零点定理，分析有限域上的多项式约束。
• 将零和子序列问题转化为Z/pZ上的多项式方程组。
• 通过有限阿贝尔p-群中序列的结构分析，识别出不同长度零和子序列存在的必要条件。
• 通过群的分解将问题约化为初等p-群，并将结果提升至一般p-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，有限阿贝尔p-群中的短正规序列会包含不同长度的零和子序列？
• RQ2 Gao关于此类子序列存在的猜想是否对所有有限阿贝尔p-群都成立？
• RQ3 组合零点定理能否有效应用于证明不同长度零和子序列的存在性？
• RQ4 p-群中序列的何种结构特性可保证存在多个不同长度的零和子序列？

主要发现

• W. Gao关于不同长度零和子序列的猜想在一大类有限阿贝尔p-群中得到证实。
• 在初等p-群中，在猜想的条件下，不同长度零和子序列的存在性得到保证。
• 组合零点定理的应用成功地在初等情形下建立了此类子序列的存在性。
• 对p-群中短正规序列的表征，为不同长度零和子序列的存在性提供了结构准则。