[论文解读] On the existence of $E_0$-semigroups

William Arveson|ArXiv.org|May 8, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的、基本的构造方法，通过稳定截面和希尔伯特空间完备化，从任意抽象乘积系统构造出一个 $E_0$-半群。通过在稳定截面模去零截面的商空间上定义一个表示，作者建立了本质表示，从而得到一个 $E_0$-半群，由此以直接、构造性的方式证明了所有乘积系统均存在 $E_0$-半群。

ABSTRACT

Product systems are the classifying structures for semigroups of endomorphisms of B(H), in that two $E_0$-semigroups are cocycle conjugate iff their product systems are isomorphic. Thus it is important to know that every abstract product system is associated with an $E_0$-semigrouop. This was first proved more than fifteen years ago by rather indirect methods. Recently, Skeide has given a more direct proof. In this note we give yet another proof by an elementary construction.

研究动机与目标

• 提供一种从任意抽象乘积系统直接、基本地构造 $E_0$-半群的方法，避免使用间接的分析方法。
• 通过在由稳定截面导出的希尔伯特空间上构造本质表示，建立所有乘积系统均存在 $E_0$-半群的结论。
• 提供一种替代阿夫森（1990）和利布舍（2003）以及斯凯德（2006）近期证明的更简单、更清晰的方法。
• 通过显式构造相关表示，明确阐明乘积系统与 $E_0$-半群之间的对应关系。

提出的方法

• 定义乘积系统 $E$ 的稳定局部 $L^2$ 截面空间 $\mathcal{S}$，其中对充分大的 $\lambda$，有 $f(\lambda+1) = f(\lambda) \cdot e$ 几乎处处成立。
• 通过极限 $\langle f,g \rangle = \lim_{n \to \infty} \int_n^{n+1} \langle f(\lambda), g(\lambda) \rangle \, d\lambda$，在 $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ 上引入内积，其中 $\mathcal{N}$ 是最终为零的截面子空间。
• 将 $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ 完备化为一个可分希尔伯特空间 $H$，该空间成为表示的载体空间。
• 通过 $\phi_0(v)f(\lambda) = v \cdot f(\lambda - t)$（当 $\lambda > t$ 时）且其余情况为零，定义乘积系统在 $H$ 上的表示 $\phi$。
• 通过证明对任意 $E(1)$ 的标准正交基 $\{v_n\}$，有 $\sum_n \phi(v_n)\phi(v_n)^* = \mathbf{1}_H$，证明 $\phi$ 是本质表示，其中使用了引理 2.4 关于投影和的结论。
• 利用本质表示与 $E_0$-半群之间的标准对应关系，得出乘积系统 $E$ 通过 $\alpha_t(X) = \sum_n \phi(e_n(t)) X \phi(e_n(t))^*$ 生成一个 $E_0$-半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个抽象乘积系统均可通过直接、基本的构造方法实现为某个 $E_0$-半群的乘积系统？
• RQ2 是否存在一种构造性方法，可将给定乘积系统与一个 $E_0$-半群关联起来，且避免早期证明中使用的复分析？
• RQ3 在稳定截面的希尔伯特空间上构造的表示是否为本质表示，从而确保对应 $E_0$-半群的存在性？
• RQ4 是否可利用稳定截面及其渐近行为来定义一个具有良好性质的内积，从而导出一个非平凡的希尔伯特空间？

主要发现

• 该构造产生了一个非平凡的希尔伯特空间 $H$，其等距包含 $L^2((0,1];E)$，证明了 $H$ 不是 $\{0\}$。
• 在 $H$ 上定义的表示 $\phi$ 是本质表示，通过验证对任意 $E(1)$ 的标准正交基 $\{v_n\}$，有 $\sum_n \phi(v_n)\phi(v_n)^* = \mathbf{1}_H$ 得到证明。
• 在 $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ 上的内积是良定义的，且不依赖于极限点的选择，这是由截面的稳定性决定的，如引理 2.1 所证。
• 通过引理 2.3 可知，$\phi_0(v)$ 的伴随算子满足 $\phi_0(v)^*f(\lambda) = v^*f(\lambda + t) + g(\lambda)$，其中 $g$ 为某零截面。
• 关键恒等式 $\sum_n \|v_n^*\xi\|^2 = \|\xi\|^2$ 对 $\xi \in E(t)$ 及 $E(s)$ 的标准正交基 $\{v_n\}$（$s < t$）成立，通过将 $E(t)$ 分解为 $E(s)E(t-s)$ 得到，从而确立了表示的本质性。
• 所得到的 $E_0$-半群并非纯的，因为该构造未产生具有平凡递减冯诺依曼代数交的半群，表明其在纯性相关问题上存在局限性。