[论文解读] On the existence of four or more curved foldings with common creases and crease patterns

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2019

Advanced Materials and Mechanics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文研究了在三维空间中，具有相同折痕图案和折痕的非全等曲面折叠的可能数量。通过分析折痕曲线及其平面图案的对称性，证明了当折痕和图案均无非平凡对称性时，恰好存在四种不同的曲面折叠；否则，数量减少至两个或更少。该研究扩展了折纸几何中可展曲面的先前结果。

ABSTRACT

Consider an oriented curve $Γ$ in a domain $D$ in the plane $\boldsymbol R^2$. Thinking of $D$ as a piece of paper, one can make a curved folding in the Euclidean space $\boldsymbol R^3$. This can be expressed as the image of an "origami map" $Φ:D o \boldsymbol R^3$ such that $Γ$ is the singular set of $Φ$, the word "origami" coming from the Japanese term for paper folding. We call the singular set image $C:=Φ(Γ)$ the crease of $Φ$ and the singular set $Γ$ the crease pattern of $Φ$. We are interested in the number of origami maps whose creases and crease patterns are $C$ and $Γ$, respectively. Two such possibilities have been known. In the authors' previous work, two other new possibilities and an explicit example with four such non-congruent distinct curved foldings were established. In this paper, we determine the possibility of the number $N$ of congruence classes of curved foldings with the same crease and crease pattern. As a consequence, if $C$ is a non-closed simple arc, then $N=4$ if and only if both $Γ$ and $C$ do not admit any symmetries. On the other hand, when $C$ is a closed curve, there are infinitely many distinct possibilities for curved foldings with the same crease and crease pattern, in general.

研究动机与目标

• 确定在三维空间中，可共享相同折痕和折痕图案的非全等曲面折叠的最大数量。
• 分析折痕曲线 $C$ 及其平面图案 $Γ$ 的对称性如何影响不同曲面折叠的数量。
• 通过基于对称性性质的完整分类，推广先前关于可接受曲面折叠的结果。
• 解决当 $C$ 为闭合曲线时此类折叠的存在性与计数问题，表明一般情况下存在无穷多种可能性。

提出的方法

• 将曲面折叠定义为 $\mathbb{R}^3$ 中的可展曲面，其奇点集由平面曲线 $\Gamma$ 映射而来。
• 引入“可接受”曲面折叠的概念，满足先前工作中提出的曲率与长度条件 (i)–(iv')。
• 基于等距变换对 $\Gamma \subset \mathbb{R}^2$ 和 $C \subset \mathbb{R}^3$ 进行对称性分析，区分正对称与负对称。
• 应用微分几何工具，如弧长参数化、曲率函数及 Frenet-Serret 公式，以表征折叠行为。
• 证明全等类的数量取决于 $C$ 和 $\Gamma$ 是否存在非平凡对称性。
• 通过椭圆的重参数化与缩放重构显式例子，使折痕长度匹配，展示四种非全等折叠。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^3$ 中，从相同的折痕图案和折痕曲线 $C$ 可实现的非全等曲面折叠的最大数量是多少？
• RQ2 折痕曲线 $C$ 及其平面图案 $\Gamma$ 的对称性如何约束不同曲面折叠的数量？
• RQ3 在何种几何条件下，此类折叠的数量达到四，何时会减少至两个或更少？
• RQ4 对于闭合折痕曲线 $C$，是否存在无穷多个具有相同 $\Gamma$ 的不同曲面折叠？
• RQ5 在何种情况下，单对 $(\Gamma, |C|)$ 仅产生一个全等类的曲面折叠？

主要发现

• 对于 $\mathbb{R}^3$ 中的非闭合简单弧 $C$，其曲面折叠的全等类数量 $N$ 恰好为四，当且仅当 $C$ 和 $\Gamma$ 均无非平凡对称性。
• 若 $C$ 或 $\Gamma$ 具有非平凡对称性，则 $N \leq 2$。
• 当 $C$ 为闭合曲线时，一般情况下，对于相同的 $\Gamma$ 和 $|C|$，可能存在无穷多个不同的曲面折叠。
• 通过显式例子验证了四种非全等曲面折叠的存在性：采用缩放后的椭圆作为 $\Gamma$，并构造一条长度匹配的闭合空间曲线 $C_3$。
• 构造了一条沿 $C_3$ 的可展带状曲面 $F$，使其曲率函数与重参数化的椭圆一致，从而得到图 7 中显示的三种不同折叠。
• 本文证明：空间曲线 $C$ 同时具有正负对称性，当且仅当其位于一个平面上且具有非平凡对称性。