[论文解读] On the existence of Fourier-Mukai kernels

Alice Rizzardo|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种方法，用于计算光滑射影代数簇上相干层导出范畴之间精确函子的假设傅里叶-穆凯伊核的上同调层。证明了若此类函子同构于傅里叶-穆凯伊变换，则这些层与核的上同调一致；此外，在曲线情形下，当核的上同调集中在单一程度且在点上支持时，构造了显式同构。

ABSTRACT

A theorem by Orlov states that any equivalence between the bounded derived categories of coherent sheaves of two smooth projective varieties, X and Y, is isomorphic to a Fourier-Mukai transform with kernel in the bounded derived category of coherent sheaves of the product XxY. In the case of an exact functor which is not necessarily fully faithful, we compute some sheaves that play the role of the cohomology sheaves of the kernel, and that are isomorphic to the latter whenever an isomorphism to a Fourier-Mukai transform exists. We then exhibit a class of functors that are not full or faithful and still satisfy the above result.

研究动机与目标

• 确定光滑射影代数簇上相干层导出范畴之间精确函子同构于傅里叶-穆凯伊变换的必要条件。
• 计算 $X \times Y$ 上的层，这些层若核存在，将构成核的上同调层。
• 在 $X$ 为光滑射影曲线的情形下，提供傅里叶-穆凯伊核存在的构造性判据。
• 证明核的上同调层可从函子对局部自由层的作用中显式计算得出。
• 建立即使在非全忠实或非忠实情形下，函子仍同构于傅里叶-穆凯伊变换的条件。

提出的方法

• 通过函子对局部自由层的扭转作用，定义 $X \times Y$ 上的层 $\mathscr{Bla}^i$，作为潜在核的上同调层。
• 对局部自由层 $\mathscr{E}$ 及充分大的 $n$，构造函子性映射 $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E}(n))) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E}(n))$。
• 利用 $p_1^*\mathcal{O}_X(1)$ 在 $Y$ 上为非常 ample 的事实，确保当 $n$ 足够大时，这些映射成为同构。
• 利用短正合列 $0 \to \mathscr{E} \to \mathscr{E}(m)^{\oplus(d+1)} \to K_m \otimes \mathscr{E} \to 0$ 来关联不同扭转下的上同调层。
• 在所得交换图上使用图表追逐法，证明在适当条件下，映射 $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E})) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E})$ 为同构。
• 当 $X$ 为一维时，若 $\mathscr{Bla}^i = 0$ 对所有 $i \neq M$ 成立，且 $\mathscr{Bla}^M$ 为标准层的直和，则显式构造同构 $s: \Phi_{\mathscr{Bla}^M[-M]} \to F$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接从精确函子在导出范畴上的作用，计算出假设傅里叶-穆凯伊核的上同调层？
• RQ2 在何种条件下，光滑射影代数簇上相干层导出范畴之间的精确函子同构于傅里叶-穆凯伊变换，即使其非全忠实？
• RQ3 当潜在核的上同调层集中在单一程度且在点上支持时，能否显式构造出核？
• RQ4 核的上同调是否与从函子对局部自由层作用中计算出的层 $\mathscr{Bla}^i$ 一致？
• RQ5 函子或代数簇的何种结构条件可确保候选层 $\mathscr{Bla}^i$ 真正源自某个核？

主要发现

• 对任意精确函子 $F: D^b_{\mathrm{Coh}}(X) \to D^b_{\mathrm{Coh}}(Y)$，存在 $X \times Y$ 上的相干层 $\mathscr{Bla}^i$，使得对所有充分大的 $n$，有 $\mathscr{H}^i(F(\mathscr{E}(n))) \to p_{2*}(\mathscr{Bla}^i \otimes p_1^*\mathscr{E}(n))$ 为同构。
• 若 $F \cong \Phi_E$，则对所有 $i$ 有 $\mathscr{H}^i(E) \cong \mathscr{Bla}^i$，因此 $\mathscr{Bla}^i$ 恰好是核的上同调层。
• 当 $X$ 为光滑射影曲线，且 $\mathscr{Bla}^i$ 仅在单一程度 $M$ 非零，且 $\mathscr{Bla}^M$ 为标准层的直和时，则 $F$ 同构于核为 $\mathscr{Bla}^M[-M]$ 的傅里叶-穆凯伊变换。
• 同构 $s: \Phi_{\mathscr{Bla}^M[-M]} \to F$ 通过函子作用于扭曲层的上同调上的图表追逐法显式构造。
• 该构造依赖于短正合列 $0 \to \mathscr{E} \to \mathscr{E}(m)^{\oplus(d+1)} \to K_m \otimes \mathscr{E} \to 0$，以关联不同扭转下的上同调。
• 结果表明，在给定条件下，当 $\dim X = 1$ 时，类比卡坦-艾伦伯格谱序列收敛。