[论文解读] On the existence of Hamiltonian paths connecting Lagrangian submanifolds

Nassif Ghoussoub, Abbas Moameni|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文通过基于反自对偶拉格朗日量的新型变分法，建立了在2N维相空间中连接两个拉格朗日子流形的哈密顿路径的存在性。通过构造一个下确界为零的泛函，并应用Ky-Fan引理，作者在哈密顿量满足凸性和次二次增长条件时证明了存在性，且对增长速率给出了明确的界以确保强制性和紧致性。

ABSTRACT

We use a new variational method --based on the theory of anti-selfdual Lagrangians developed in [2] and [3]-- to establish the existence of solutions of convex Hamiltonian systems that connect two given Lagrangian submanifolds in $\R^{2N}$. We also consider the case where the Hamiltonian is only semi-convex. A variational principle is also used to establish existence for the corresponding Cauchy problem. The case of periodic solutions will be considered in a forthcoming paper [5].

研究动机与目标

• 建立在2N维相空间中连接两个给定拉格朗日子流形的凸哈密顿系统解的存在性。
• 将变分方法扩展至半凸哈密顿量及柯西初值问题。
• 基于反自对偶拉格朗日量提出一种新的存在性框架，避免使用标准的欧拉-拉格朗日理论。
• 利用勒让德-弗歇尔对偶和泛函分析推导此类连接路径存在的必要条件。

提出的方法

• 构建一种基于反自对偶拉格朗日量的新变分原理，其中作用泛函的下确界恒为零。
• 通过共轭 $ H^* $ 重述哈密顿系统，并定义泛函 $ I(p,q) $，其中包含涉及 $ \psi_1 $、$ \psi_2 $ 及其共轭的边界项。
• 通过涉及Sobolev范数和 $ p(0) $、$ q(T) $ 及其导数的Poincaré型不等式，建立泛函的强制性。
• 应用Ky-Fan引理由泛函 $ L(r,s;p,q) $ 证明极小化元的存在性，利用弱下半连续性和紧致性。
• 通过扰动 $ H_\epsilon = H + \frac{\epsilon}{2}(|p|^2 + |q|^2) $ 确保 $ H^*_\epsilon $ 处处有限，从而可应用对偶理论。
• 关键估计在于证明当 $ \|p\| + \|q\| \to \infty $ 时，$ L(0,0;p,q) \to \infty $，其依赖于 $ \beta < \frac{1}{2\max(2T^2,1)} $ 以及 $ \psi_1 $、$ \psi_2 $ 的强制性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，凸哈密顿系统会存在一条连接由凸函数 $ \psi_1 $ 和 $ \psi_2 $ 定义的两个拉格朗日子流形的解路径？
• RQ2 如何在不依赖经典欧拉-拉格朗日理论的前提下，建立此类连接路径存在的证明？
• RQ3 哈密顿量和边界势函数的何种增长与强制性条件可确保紧致性和极小化元的存在性？
• RQ4 该变分方法能否扩展至半凸哈密顿量和初值问题？
• RQ5 反自对偶拉格朗日量结构在确保作用泛函下确界为零的过程中起到何种作用？

主要发现

• 泛函 $ I(p,q) $ 下方有界于零，且其下确界恰好为零，该下确界在极小化元处取得。
• 泛函 $ I(p,q) $ 的极小化元几乎处处满足哈密顿系统 $ \dot{p} \in \partial_2 H(p,q) $，$ -\dot{q} \in \partial_1 H(p,q) $ 于 $ (0,T) $ 上。
• 在极小化元处，边界条件 $ q(0) \in \partial\psi_1(p(0)) $，$ -p(T) \in \partial\psi_2(q(T)) $ 成立。
• 当 $ \beta < \frac{1}{2\max(2T^2,1)} $ 时，存在性结果成立，其中 $ \beta $ 控制哈密顿量的次二次增长。
• 若 $ \psi_1 $ 或 $ \psi_2 $ 满足强制性条件 $ \liminf_{|p|\to\infty} \frac{\psi_i(p)}{|p|^2} > 2T $，则可确保泛函的强制性。
• 该方法适用于满足 $ -\alpha \leq H(p,q) \leq \beta(|p|^r + |q|^r + 1) $ 的 $ H $，其中 $ 1 < r < 2 $，且 $ \beta $ 满足相同的界。