[论文解读] On the existence of holomorphic embeddings of strictly pseudoconvex algebraic hypersurfaces into spheres

Peter Ebenfelt, Duong Ngoc Son|arXiv (Cornell University)|May 6, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文证明了在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中存在严格强拟凸的实代数超曲面，它们无法在任何 $N$ 下局部全纯嵌入到 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中的任何球面中，也无法嵌入到任何紧致、严格强拟凸的实代数超曲面中。构造方法基于一个在原点仅有一个非严格强拟凸点的紧致实代数超曲面，该点被证明在该处为 3-非退化，从而通过 CR 几何与次调和分析阻碍了非平凡全纯映射。

ABSTRACT

We show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into a sphere in $\bC^{N+1}$ for any $N$. In fact, we show that there are strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurfaces in $\bC^{n+1}$ that cannot be locally embedded into any compact, strictly pseudoconvex, real algebraic hypersurface.

研究动机与目标

• 解决关于所有严格强拟凸的实代数超曲面是否都能在某个 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中局部全纯嵌入到球面中的开放问题。
• 构造此类超曲面的显式例子，这些超曲面无法接受非平凡全纯映射到任何紧致、严格强拟凸的实代数超曲面。
• 提供一种构造性的、代数几何的嵌入障碍，与先前工作中使用的非构造性方法形成对比。
• 将局部嵌入障碍的理解从 Levi 非退化情形扩展到严格强拟凸情形。

提出的方法

• 在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中构造一个实代数超曲面 $M$，作为严格强拟凸多项式 $\rho = -\text{Im}\,w + P$ 的零点集，其中 $P$ 是一个次数为 4 的齐次多项式，且含有较大的正参数 $R$。
• 证明 $M$ 是紧致的，除原点外处处为严格强拟凸，而在原点处为弱强拟凸但 3-非退化。
• 利用 CR 向量场 $L_j = \partial/\partial\bar{z}_j - 2i P_{\bar{z}_j} \partial/\partial\bar{w}$ 计算 Levi 形式的高阶导数，并验证原点处的 3-非退化性。
• 应用一个线性分式变换 $\Phi$，将 $M \setminus \{(0,0)\}$ 映射为 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中的一个闭的、严格强拟凸的、实代数的超曲面 $\hat{M}$，同时保持对非平凡映射的阻碍性。
• 利用任何从 $\hat{M}$ 到紧致、严格强拟凸、实代数超曲面的全纯映射都可延拓至 $M$ 的事实，因此由原点处的非退化性条件，该映射必为常值。
• 利用全纯映射到实代数超曲面的代数性，确保即使为多值，也能全局延拓，从而对非平凡映射导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个严格强拟凸的实代数超曲面在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中都能在某个 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中局部全纯嵌入到球面中？
• RQ2 是否存在严格强拟凸的实代数超曲面，无法非平凡地映射到任何紧致、严格强拟凸的实代数超曲面？
• RQ3 能否使用代数与次调和方法显式构造嵌入障碍？
• RQ4 是否存在一个紧致、严格强拟凸的实代数超曲面，其在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中无法接受任何非平凡全纯映射到任何球面？

主要发现

• 在 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中存在紧致、严格强拟凸的实代数超曲面，其在单一点处为 3-非退化，且无法接受非平凡全纯映射到任何 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中的紧致、严格强拟凸的实代数超曲面。
• 所构造的超曲面 $M$ 除原点外处处为严格强拟凸，原点处为弱强拟凸但 3-非退化，该性质阻碍了非平凡全纯映射。
• 变换 $\Phi$ 将 $M \setminus \{(0,0)\}$ 映射为 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中的一个闭的、严格强拟凸的、实代数的超曲面 $\hat{M}$，该超曲面继承了不可嵌入性。
• 任何从 $\hat{M}$ 到 $\mathbb{C}^{N+1}$ 中球面的局部全纯映射必为常值，这是由于 $M$ 在原点处的阻碍。
• 该结果提供了一个构造性的、代数的反例，反驳了普遍局部嵌入到球面的可能性，与先前工作中使用的非构造性证明形成对比。
• 阻碍源于原点处的 3-非退化性，该性质阻止了非平凡全纯映射进入任何紧致、严格强拟凸的实代数目标超曲面。