[论文解读] On the existence of orbits satisfying periodic or conormal boundary conditions for Euler-Lagrange flows

Luca Asselle|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 9被引用 3

一句话总结

本篇哲学博士论文通过变分法，证明了在紧致流形上，Euler-Lagrange 流在周期性与共法边界条件下轨道的存在性。通过分析自由时间作用泛函并应用极小极大原理，作者在超临界与亚临界能量下建立了关键的存在性结果，推广了 Lusternik-Fet 定理，并将结果扩展至二维环面上的磁流。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be a closed Riemannian manifold and $L:TM ightarrow \mathbb R$ be a Tonelli Lagrangian. In this thesis we study the existence of orbits of the Euler-Lagrange flow associated with $L$ satisfying suitable boundary conditions. We first look for orbits connecting two given closed submanifolds of $M$ satisfying the conormal boundary conditions: We introduce the Mañé critical value that is relevant for the problem and prove existence results for supercritical and subcritical energies; we also complement these with counterexamples, thus showing the sharpness of our results. We then move to the problem of finding periodic orbits: We provide an existence result of periodic orbits for non-aspherical manifolds generalizing the Lusternik-Fet Theorem, and a multiplicity result in case the configuration space is the 2-torus.

研究动机与目标

• 通过变分技术，建立在共法边界条件下连接两个子流形 $ Q_0 $ 与 $ Q_1 $ 的轨道的存在性。
• 将 Lusternik-Fet 定理推广至共法边界条件与能量水平的设定。
• 研究二维环面 $ \mathbb{T}^2 $ 上磁流的周期轨道，特别是振荡磁场下的情形。
• 将存在性结果扩展至磁形式 $ \sigma $ 的弱精确情形与闭但非精确的情形。
• 在亚临界能量区域提供反例，说明此类轨道可能不存在。

提出的方法

• 在希尔伯特流形 $ \mathcal{M}_Q = H^1_Q([0,1],M) \times (0,\infty) $ 上形式化自由时间作用泛函 $ \mathbb{A}_k $，通过时间重标度识别路径。
• 应用 Palais-Smale 条件，以确保变分设定下极小化序列的收敛性。
• 利用 MaÑé 临界值对能量水平进行分类，区分超临界与亚临界区域。
• 通过同伦理论与相对同伦群构造极小极大类，以检测作用泛函的临界点。
• 采用 Struwe 型单调性论证，控制极小极大设定下 Palais-Smale 序列的行为。
• 利用共法丛是 $ T^*M $ 的拉格朗日子流形这一事实，并利用在它们上恒为零的 Liouville 1-形式，确保几何相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Euler-Lagrange 方程在共法边界条件下连接两个子流形 $ Q_0 $ 与 $ Q_1 $ 的解存在？
• RQ2 MaÑé 临界值如何影响此类轨道的存在性，特别是在超临界与亚临界能量区域？
• RQ3 Lusternik-Fet 定理能否推广至涵盖满足共法边界条件的轨道？
• RQ4 在 $ \mathbb{T}^2 $ 上振荡磁场下，周期轨道的行为如何？磁形式 $ \sigma $ 如何影响其存在性？
• RQ5 是否存在共法边界条件轨道不成立的情形？若存在，其条件为何？

主要发现

• 在超临界能量下，通过在自由时间作用泛函上应用极小极大方法，可保证满足共法边界条件的轨道存在。
• 在亚临界区域，此类轨道的存在性无法保证，作者提供了反例以说明其不成立。
• 已建立广义的 Lusternik-Fet 定理，当能量水平高于 MaÑé 临界值时，可确保在共法边界条件下存在周期轨道。
• 对于 $ \mathbb{T}^2 $ 上的振荡磁场，证明了局部极小值的存在性，且 Struwe 型单调性论证确保了极小化序列的收敛性。
• 证明中所用的极小极大类通过相对同伦群 $ (D^k, \partial D^k) $ 构造，确保了临界类的非平凡性。
• 证明了共法丛 $ N^*Q $ 是 $ T^*M $ 的拉格朗日子流形，且 Liouville 1-形式在其上恒为零，这对变分结构至关重要。