[论文解读] On the existence of stable compact leaves for transversely holomorphic foliations

Bruno Scárdua|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文证明，在紧致复流形上的横截全纯叶状结构中，存在一个稳定紧致叶（具有有限单值群）的充要条件是紧致叶集合的测度为正。通过测度论论证与单值群分析，作者证明：若紧致叶集合具有正测度，则存在一个具有有限单值群的叶，从而将黎布的稳定性定理推广至全纯情形。

ABSTRACT

A transversely holomorphic foliation on a compact complex manifold, exhibits a compact stable leaf if and only if the set of compact leaves is not a zero measure subset of the manifold.

研究动机与目标

• 确定紧致复流形上的横截全纯叶状结构在何种条件下存在稳定紧致叶。
• 研究此类叶状结构中紧致叶集合的测度论结构。
• 通过将有限单值群与紧致叶的正测度联系起来，将黎布的局部稳定性定理推广至全纯情形。
• 分析单值群的动力学及其周期性性质与紧致叶集合的关系。
• 建立二分法：要么叶状结构存在一个具有有限单值群的紧致叶，要么所有紧致叶的集合测度为零。

提出的方法

• 定义紧致叶集合 $\Omega(\mathcal{F})$，并分析其在全空间 $M$ 中的测度。
• 利用 $M$ 的有限覆盖 $T_j$（即特殊横截邻域）来通过有限交数刻画紧致叶。
• 应用测度论论证：若 $\mu(\Omega(\mathcal{F})) > 0$，则对某个 $n$，存在 $\Omega(\mathcal{F}, T, n)$ 具有正测度。
• 分析横截圆盘 $\Sigma_p$ 上的单值芽 $h \in \operatorname{Hol}(\mathcal{F}, L_0, \Sigma_p, p)$；证明正测度的周期点蕴含 $h$ 为有限阶。
• 利用单值映射的解析性：正测度的周期点集合蕴含该映射在邻域上恒等，故为有限阶。
• 应用伯恩赛德定理与舒尔关于周期线性群的结果，得出单值群为有限群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致复流形上的横截全纯叶状结构中，何种条件下存在稳定紧致叶？
• RQ2 能否利用紧致叶集合的正测度来推断某个紧致叶具有有限单值群？
• RQ3 是否存在关于具有有限单值群的紧致叶的存在性与所有紧致叶集合测度之间的二分法？
• RQ4 单值群的周期性性质如何与全纯叶状结构中紧致叶的几何性质相关？
• RQ5 叶空间的测度论结构在多大程度上限制了紧致叶的单值群？

主要发现

• 在紧致复流形上的横截全纯叶状结构中，存在稳定紧致叶当且仅当紧致叶集合具有正测度。
• 若紧致叶集合具有正测度，则存在一个紧致叶 $L_0$，其具有一个饱和邻域基，使得所有邻近叶均为紧致叶且具有有限单值群。
• 此类叶 $L_0$ 的单值群为有限群，因为每个单值芽均作用为有界阶的周期映射。
• 证明依赖于单值映射的解析性：正测度的周期点集合迫使芽为恒等映射，从而蕴含有限阶。
• 作用在复流形 $F$ 上的微分同胚群 $G \subset \operatorname{Diff}(F)$ 要么为有限群，要么其周期轨道集合测度为零。
• 该结果将黎布的稳定性定理推广至全纯情形，以横截全纯性与测度论条件取代了光滑情形下的余维一假设。