[论文解读] On the Expansion of Graphs of 0/1-Polytopes

Volker Kaibel|ArXiv.org|Dec 14, 2001

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文研究了0/1-多面體圖的邊擴散性，提出利用立方體-弧流和唯一邊-立方體生成牆面的技術來下界擴散性。研究證明，若干關鍵類別——包括所有維度≤5的0/1-多面體、單純0/1-多面體、單純單形、穩定集多面體和匹配多面體——的邊擴散性至少為1，從而支持了Mihail-Vazirani猜想。

ABSTRACT

The edge expansion of a graph is the minimum quotient of the number of edges in a cut and the size of the smaller one among the two node sets separated by the cut. Bounding the edge expansion from below is important for bounding the ``mixing time'' of a random walk on the graph from above. It has been conjectured by Mihail and Vazirani that the graph of every 0/1-polytope has edge expansion at least one. A proof of this (or even a weaker) conjecture would imply solutions of several long-standing open problems in the theory of randomized approximate counting. We present different techniques for bounding the edge expansion of a 0/1-polytope from below. By means of these tools we show that several classes of 0/1-polytopes indeed have graphs with edge expansion at least one. These classes include all 0/1-polytopes of dimension at most five, all simple 0/1-polytopes, all hypersimplices, all stable set polytopes, and all (perfect) matching polytopes.

研究动机与目标

• 提供0/1-多面體圖邊擴散性的下界，這是高效隨機游走混合的關鍵性質。
• 研究Mihail-Vazirani猜想——即所有0/1-多面體圖的邊擴散性至少為1——是否對特定類別成立。
• 發展利用0/1-多面體結構性質證明邊擴散性下界的通用技術。
• 確立穩定集多面體、匹配多面體和完美匹配多面體圖的邊擴散性至少為1。

提出的方法

• 在0/1-多面體圖上構造網絡流，利用跨越唯一邊-立方體生成牆面的仿射邊-立方體內的流。
• 對所有此類邊-立方體進行流分解，確保每條弧最多出現在n/2個流中，其中n為頂點數。
• 利用每條弧上最大流的界，通過不等式(4)推導邊擴散性的下界，將流性質與擴散性關聯起來。
• 利用跨越牆面的邊-立方體中對蹠頂點的概念，確保所有頂點對之間的結構覆蓋。
• 利用已知的組合結構——如穩定集中的對稱差連通性，以及匹配多面體的線圖對偶性——來識別有效的邊-立方體跨度。
• 應用定理4.12，該定理在每對不同頂點均為唯一邊-立方體生成牆面中對蹠點的條件下，確立邊擴散性≥1。

实验结果

研究问题

• RQ1 0/1-多面體圖的邊擴散性是否如Mihail與Vazirani所猜想的那樣至少為1？
• RQ2 0/1-多面體的結構性質（如單純性或來自穩定集）是否能保證邊擴散性有界？
• RQ3 是否存在通用技術，利用組合與幾何分解來下界0/1-多面體圖的邊擴散性？
• RQ4 由於其底層圖論結構，穩定集多面體與匹配多面體是否滿足Mihail-Vazirani猜想？
• RQ5 能否使用基於流的方法證明維度至多為五的0/1-多面體的邊擴散性至少為1？

主要发现

• 所有維度至多為五的0/1-多面體的邊擴散性至少為1。
• 所有單純0/1-多面體的邊擴散性至少為1。
• 所有單純單形的邊擴散性至少為1。
• 任何圖的穩定集多面體的邊擴散性至少為1。
• 任何圖的匹配多面體與完美匹配多面體的邊擴散性至少為1。
• 當每對不同頂點在唯一邊-立方體生成牆面中均為對蹠點時，0/1-多面體的邊擴散性下界為1。