[论文解读] On the Expected Complexity of Random Convex Hulls

Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用 27

一句话总结

本文提出了一种新颖且基础的概率方法，用于分析各种几何设置下随机凸包的期望复杂度。通过将凸体分解为小块，并分析暴露的小块数量，作者推导出紧致的界：在圆内为 O(n^{1/3})，在 k 边形内为 O(k log n)，在 D-凸包中为 O(n^{1/3} + √(nα(D)))，在 d 维空间的象限凸包中为 O(log^{d−1} n) —— 提供了比以往基于积分的方法更简单、更直观的证明。

ABSTRACT

In this paper we present several results on the expected complexity of a convex hull of $n$ points chosen uniformly and independently from a convex shape. (i) We show that the expected number of vertices of the convex hull of $n$ points, chosen uniformly and independently from a disk is $O(n^{1/3})$, and $O(k \log{n})$ for the case a convex polygon with $k$ sides. Those results are well known (see \cite{rs-udkhv-63,r-slcdn-70,ps-cgi-85}), but we believe that the elementary proof given here are simpler and more intuitive. (ii) Let $\D$ be a set of directions in the plane, we define a generalized notion of convexity induced by $\D$, which extends both rectilinear convexity and standard convexity. We prove that the expected complexity of the $\D$-convex hull of a set of $n$ points, chosen uniformly and independently from a disk, is $O(n^{1/3} + \sqrt{nα(\D)})$, where $α(\D)$ is the largest angle between two consecutive vectors in $\D$. This result extends the known bounds for the cases of rectilinear and standard convexity. (iii) Let $\B$ be an axis parallel hypercube in $\Re^d$. We prove that the expected number of points on the boundary of the quadrant hull of a set $S$ of $n$ points, chosen uniformly and independently from $\B$ is $O(\log^{d-1}n)$. Quadrant hull of a set of points is an extension of rectilinear convexity to higher dimensions. In particular, this number is larger than the number of maxima in $S$, and is also larger than the number of points of $S$ that are vertices of the convex hull of $S$. Those bounds are known \cite{bkst-anmsv-78}, but we believe the new proof is simpler.

研究动机与目标

• 为已知的随机凸包顶点数期望界提供更简单、更直观的证明。
• 将这些界扩展至广义凸性类型，包括 D-凸性和高维空间中的象限凸包。
• 通过基于铺砌和暴露的概率论证，统一并简化现有关于期望复杂度的结果。

提出的方法

• 将凸形状 C 分解为小块且面积相等的瓷砖，以分析随机凸包所暴露的瓷砖数量的期望值。
• 使用 Efron 定理的一种变体：将期望顶点数与凸包的期望面积相关联，而该面积有下界，即凸包外部的期望面积。
• 通过方向集 D 定义 D-凸性，推广标准凸性和矩形凸性，并界定 D-凸包的期望复杂度。
• 将铺砌方法应用于 d 维单位超立方体，分析象限凸包对瓷砖的暴露情况。
• 利用指数尾部界，界定某个瓷砖在给定方向上不被任何点覆盖的概率。
• 利用 2^d 个象限上的对称性和并集界，推导出最终的期望复杂度界。

实验结果

研究问题

• RQ1 从圆中独立同分布地随机采样 n 个点，其凸包的期望顶点数是多少？能否以比基于积分更简单的方式证明？
• RQ2 D-凸包的期望复杂度如何依赖于方向集 D，特别是连续方向之间最大夹角 α(D) 的影响？
• RQ3 在 d 维空间中，n 个独立同分布的均匀点在超立方体中，其象限凸包边界上的点的期望数量是多少？与最大值点数或凸包顶点数相比如何？
• RQ4 能否通过更直观的几何论证，推导出 d 维均匀采样中最大值数量的已知 O(log^{d−1} n) 界？
• RQ5 铺砌方法能否替代复杂积分估计，用于分析凸包复杂度？

主要发现

• 从圆中均匀采样 n 个点的凸包的期望顶点数为 O(n^{1/3})，并给出了避免复杂积分的新基础证明。
• 对于凸 k 边形，凸包顶点的期望数量为 O(k log n)，同样具有更简单、更直观的推导。
• 在平面中，对于方向集 D（其中连续向量之间的最大夹角为 α(D)），D-凸包的期望复杂度为 O(n^{1/3} + √(nα(D)))。
• 在 d 维空间中，n 个独立同分布的均匀点在超立方体中，其象限凸包边界的期望点数为 O(log^{d−1} n)。
• 该界还意味着，在 d 维空间中，最大值的期望数量和凸包顶点的期望数量均为 O(log^{d−1} n)。
• 本文表明，铺砌与暴露方法提供了一个统一且更简单的框架，用于推导这些界，相比传统的基于积分的证明更具优势。