[论文解读] On the Expressive Completeness of Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic

Mnacho Echenim, Radu Iosif+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了伯奈斯-舍恩芬克尔-拉姆齐分离逻辑（$\mathsf{BSR}(Σ^{k})$）的可满足性问题，表明由于在正极性分离蕴含中存在全称量词，其一般片段是不可判定的。通过限制分离蕴含中全称量词变量的极性和作用范围，本文识别出两个可判定子片段——$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 和 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$，并通过将分离连接词受控地转化为一阶等价形式，证明这两个片段均为 PSPACE 完全。

ABSTRACT

This paper investigates the satisfiability problem for Separation Logic, with unrestricted nesting of separating conjunctions and implications, for prenex formulae with quantifier prefix in the language $\\exists^*\\forall^*$, in the cases where the universe of possible locations is either countably infinite or finite. In analogy with first-order logic with uninterpreted predicates and equality, we call this fragment Bernays-Sch\\"onfinkel-Ramsey Separation Logic [BSR(SLk)]. We show that, unlike in first-order logic, the (in)finite satisfiability problem is undecidable for BSR(SLk) and we define two non-trivial subsets thereof, that are decidable for finite and infinite satisfiability, respectively, by controlling the occurrences of universally quantified variables within the scope of separating implications, as well as the polarity of the occurrences of the latter. The decidability results are obtained by a controlled elimination of separating connectives, described as (i) an effective translation of a prenex form Separation Logic formula into a combination of a small number of \\emph{test formulae}, using only first-order connectives, followed by (ii) a translation of the latter into an equisatisfiable first-order formula.

研究动机与目标

• 分析带有量词前缀 $\exists^*\forall^*$ 的分离逻辑（记作 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$）在有限和无限堆上的可满足性问题的可判定性。
• 分别识别 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ 的非平凡子片段，使其在有限和无限可满足性上均为可判定的。
• 通过将 $\mathsf{SL}^{k}$ 公式翻译为测试公式的布尔组合以及等可满足的一阶逻辑公式，建立表达式的完备性。
• 通过识别与实际验证条件一致的可判定片段，为自动化验证提供基础。

提出的方法

• 通过限制全称量词变量仅在分离蕴含中出现在负极性或非正极性上下文，提出两个子片段：$\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 和 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$。
• 引入一种翻译机制，通过仅使用一阶连接词将每个公式表示为测试公式的布尔组合，从而消除分离连接词。
• 构建一个翻译 $\delta(\phi)$，将前束 $\mathsf{SL}^{k}$ 公式映射为在有限和无限论域上保持可满足性的等可满足一阶公式。
• 通过最小项分解和有界论域大小的模型构造，受控地消除 $*$ 和 $\mathrel{\mbox{$\mathord{-}\mathord{-}\mathord{*}$}}$。
• 通过证明有限模型可通过多项式空间“猜出”并验证，且论域大小被限制在 $\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$ 内，从而证明 PSPACE 完全性。
• 利用 $\tau(\varphi') \land \mathcal{A}(\varphi')$ 与 $\mathsf{BSR}(\mathsf{FO})$ 公式的等价性，将可满足性问题归约为具有有界模型的一阶逻辑问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 2$ 时，$\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ 在有限和无限堆上的可满足性问题是否可判定？
• RQ2 在分离蕴含中，对全称量词变量施加何种句法限制，可使 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ 的片段变为可判定？
• RQ3 是否可以系统性地通过翻译为包含测试公式的首阶逻辑，消除 $\mathsf{SL}^{k}$ 中的分离连接词，同时保持等可满足性？
• RQ4 所得到的可判定子片段的有限和无限可满足性问题的复杂度是多少？
• RQ5 所提出的翻译技术是否可用于恢复已知的无量词 $\mathsf{SL}^{k}$ 的复杂度结果，例如 PSPACE 完全性？

主要发现

• 当 $k \geq 2$ 时，一般片段 $\mathsf{BSR}(\mathsf{SL}^{k})$ 是不可判定的，主要原因在于正极性分离蕴含中存在全称量词。
• 片段 $\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$（禁止在分离蕴含中出现全称量词变量的正极性出现）在有限可满足性上是可判定的，且为 PSPACE 完全。
• 片段 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$（限制全称量词变量在分离蕴含中仅出现在非正极性上下文）在无限可满足性上是可判定的，且为 PSPACE 完全。
• 将 $\mathsf{SL}^{k}$ 公式翻译为测试公式的布尔组合，可实现对分离连接词的受控消除，从而将问题归约为一阶逻辑。
• 翻译后的一阶公式的最小模型大小被限制在 $\mathcal{O}(\mathsf{size}(\phi)^2)$ 内，从而支持多项式空间的模型检查。
• 结果恢复了无量词 $\mathsf{SL}^{k}$ 的 PSPACE 完全性，通过证明 $\phi \multimap \top$ 同时属于 $\mathsf{BSR}^{\mathit{fin}}(\mathsf{SL}^{k})$ 和 $\mathsf{BSR}^{\mathit{inf}}(\mathsf{SL}^{k})$。