[论文解读] On the Expressiveness of LARA: A Unified Language for Linear and Relational Algebra

Pablo Barceló, Nelson Higuera+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Advanced Database Systems and Queries参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了 Lara 语言在统一线性代数与关系代数方面的表达能力，表明其在聚合的一阶逻辑范围内具有表达完备性。研究发现，尽管 Lara 可以表达许多数据库和机器学习操作，但在通用性与局部性约束下，它无法表达矩阵卷积或矩阵逆，且在无复杂性假设下证明不可表达性仍具挑战性。

ABSTRACT

We study the expressive power of the LARA language -- a recently proposed unified model for expressing relational and linear algebra operations -- both in terms of traditional database query languages and some analytic tasks often performed in machine learning pipelines. We start by showing LARA to be expressive complete with respect to first-order logic with aggregation. Since LARA is parameterized by a set of user-defined functions which allow to transform values in tables, the exact expressive power of the language depends on how these functions are defined. We distinguish two main cases depending on the level of genericity queries are enforced to satisfy. Under strong genericity assumptions the language cannot express matrix convolution, a very important operation in current machine learning operations. This language is also local, and thus cannot express operations such as matrix inverse that exhibit a recursive behavior. For expressing convolution, one can relax the genericity requirement by adding an underlying linear order on the domain. This, however, destroys locality and turns the expressive power of the language much more difficult to understand. In particular, although under complexity assumptions the resulting language can still not express matrix inverse, a proof of this fact without such assumptions seems challenging to obtain.

研究动机与目标

• 分析 Lara 作为一种统一的线性代数与关系代数语言，在逻辑查询语言与机器学习操作方面的表达能力。
• 确定 Lara 在何种条件下能够表达矩阵卷积与矩阵逆等关键操作。
• 研究用户自定义函数与域序对 Lara 表达完备性及其局部性、通用性等逻辑性质的影响。
• 评估在无复杂性理论假设下，证明 Lara 中复杂操作（如矩阵逆）不可表达性的可行性。
• 探索通过最小化原语扩展 Lara，以自然表达递归操作（如矩阵逆）的同时保持实用性。

提出的方法

• 通过参数化用户自定义函数类，建立 Lara 与聚合一阶逻辑（FO_Agg）的安全语法片段之间的表达完备性。
• 区分两种主要情形：一种是仅使用键相等比较且函数为 FO 可表达的‘温和’版本 Lara，其满足强通用性与局部性。
• 引入一种更具表达力的 Lara 变体，内置线性序与算术函数，虽破坏局部性与通用性，但支持更复杂的操作。
• 运用复杂性理论推理表明，在 Lara 的受限片段中表达矩阵逆将导致 Logspace = Det，这一结果被广泛认为是错误的。
• 使用 Ehrenfeucht-Fraïssé 游戏作为潜在但组合复杂度较高的技术，用于在有序设定下证明不可表达性。
• 提出未来方向，如向温和片段中添加卷积或逆等特定操作符，以研究实现递归表达所需的最小扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lara 能否表达所有可由聚合一阶逻辑表达的查询？其用户自定义函数需满足何种条件？
• RQ2 为何在 Lara 的通用、局部版本中无法表达矩阵卷积？需要做出何种修改才能使其可表达？
• RQ3 向 Lara 域中添加线性序是否会破坏其局部性与通用性？这对表达能力有何影响？
• RQ4 是否可能在不依赖复杂性理论假设的情况下，证明矩阵逆在 Lara 中不可表达？
• RQ5 为使 Lara 的温和片段能够自然表达递归操作（如矩阵逆），需进行何种最小化扩展？

主要发现

• 在用户自定义函数适当受限的前提下，Lara 与聚合一阶逻辑的安全片段具有表达完备性。
• 仅使用键相等比较与 FO 可表达函数的 Lara 温和版本，满足强通用性与局部性，因而无法表达非通用或递归操作。
• 在通用、局部的 Lara 版本中，矩阵卷积不可表达，因其违反强通用性要求。
• 向域中添加线性序可表达卷积，但破坏了局部性与通用性，使逻辑分析更加复杂。
• 包含标准聚合算符与安全函数的 Lara 片段可在 Logspace 内评估，这意味着在该片段中表达矩阵逆将导致 Logspace 与 Det 的坍缩，这在复杂性理论中极不可能成立。
• 在一般有序 Lara 变体中，无复杂性假设下证明矩阵逆不可表达性仍具挑战，因应用 Ehrenfeucht-Fraïssé 游戏等技术面临组合复杂度难题。