[论文解读] On the expressiveness of Parikh automata and related models

Michaël Cadilhac, Alain Finkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文通过在计数器上引入仿射变换和基于字母的约束，扩展了经典的帕里克自动机（PA）模型，研究了帕里克自动机及其变体——仿射帕里克自动机（APA）、约束自动机（CA）和基于字母的帕里克自动机（LPA）的表达能力。主要贡献在于建立了严格的层次结构：确定性PA严格弱于确定性回溯受限计数器机，且APA能够表达上下文有关语言，其确定性变体的空性问题不可判定。

ABSTRACT

The Parikh finite word automaton (PA) was introduced and studied by Klaedtke and Ruess in 2003. Natural variants of the PA arise from viewing a PA equivalently as an automaton that keeps a count of its transitions and semilinearly constrains their numbers. Here we adopt this view and define the affine PA (APA), that extends the PA by having each transition induce an affine transformation on the PA registers, and the PA on letters (LPA), that restricts the PA by forcing any two transitions on same letter to affect the registers equally. Then we report on the expressiveness, closure, and decidability properties of such PA variants. We note that deterministic PA are strictly weaker than deterministic reversal-bounded counter machines. We develop pumping-style lemmas and identify an explicit PA language recognized by no deterministic PA.

研究动机与目标

• 通过引入具有增强计算能力和结构约束的新变体，扩展经典的帕里克自动机模型。
• 将PA、APA、LPA及相关模型的表达能力与正则、上下文无关以及回溯受限计数器机等经典自动机类进行比较。
• 研究这些模型的封闭性性质、空性可判定性以及泵引理的存在性。
• 澄清确定性PA与确定性回溯受限计数器机之间的关系，证明存在严格包含关系。
• 识别出确定性PA类之外的显式语言，从而细化已知的语言类层次结构。

提出的方法

• 通过允许每条转移在添加向量前对计数器向量应用仿射变换，定义仿射帕里克自动机（APA），从而推广原始PA模型。
• 通过要求同一输入字母的所有转移对计数器向量的影响完全相同，引入基于字母的帕里克自动机（LPA），从而限制其表达能力。
• 将约束自动机（CA）作为PA的形式化，其中接受性取决于运行的帕里克图像是否落在一个半线性约束集合中。
• 应用类似泵引理的方法，证明特定语言（如 $\{a,b\}^*\cdot\{a^n\#a^n \mid n\in\mathbb{N}\}$）的非正则性和非确定性PA成员资格。
• 利用Presburger算术和半线性集的结果，刻画 $\mathbb{N}$-可定义和 $\mathbb{Q}$-可定义集合，并将其与自动机构造约束关联起来。
• 通过封闭性和可判定性分析比较模型，特别关注确定性变体的空性与正则性测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射帕里克自动机（APA）的表达能力与标准帕里克自动机（PA）相比如何？使用有理数系数与自然数系数的影响是什么？
• RQ2 确定性帕里克自动机（DetPA）能否表达所有确定性回溯受限计数器机（DetRBCM）可表达的语言？是否存在严格层次结构？
• RQ3 确定性仿射帕里克自动机（DetAPA）的空性问题是否可判定？此类问题的复杂度界限是什么？
• RQ4 LPA和PA模型具有哪些封闭性质？它们与正则语言和上下文无关语言在这些方面的差异是什么？
• RQ5 能否从代数角度刻画确定性PA所识别的语言类？确定性与非确定性APA之间是否存在有意义的分离？

主要发现

• 语言 $\{a,b\}^*\cdot\{a^n\#a^n \mid n\in\mathbb{N}\}$ 属于 $\mathcal{L}_{\text{PA}}$ 但不属于 $\mathcal{L}_{\text{DetPA}}$，证明了确定性与非确定性PA之间存在严格层次结构。
• 确定性PA严格弱于确定性回溯受限计数器机（DetRBCM），确认了严格包含关系 $\mathcal{L}_{\text{DetPA}} \subset \mathcal{L}_{\text{DetRBCM}}$。
• 基于 $\mathbb{Q}$ 的仿射帕里克自动机（APA）的表达能力并不强于基于 $\mathbb{N}$ 的APA，表明有理系数并未提升表达能力。
• 即使在 $\mathbb{N}$ 上，确定性APA的空性问题是不可判定的，凸显了这些模型推理的高复杂度。
• LPA语言等价于其单词帕里克图像受约束的正则语言，且 $\mathcal{L}_{\text{LPA}}$ 不对并、补集或平方运算封闭。
• APA仅能表达上下文有关语言，且 $\mathcal{L}_{\text{APA}}$ 不对补集或同态运算封闭，但对交集和逆同态运算封闭。