[论文解读] On the extendibility of finitely exchangeable probability measures

Takis Konstantopoulos, Linglong Yuan|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文利用泛函分析与测度论方法，建立了在局部紧豪斯多夫空间上，有限交换概率测度的有限与无限可延拓性的充要条件。主要贡献在于通过有界线性泛函与哈恩-巴拿赫定理对可延拓性进行表征，将德·菲内蒂定理推广至具有符号指导测度的有限交换情形。

ABSTRACT

A length-$n$ random sequence $X_1,\ldots,X_n$ in a space $S$ is finitely exchangeable if its distribution is invariant under all $n!$ permutations of coordinates. Given $N > n$, we study the extendibility problem: when is it the case that there is a length-$N$ exchangeable random sequence $Y_1,\ldots, Y_N$ so that $(Y_1,\ldots,Y_n)$ has the same distribution as $(X_1,\ldots,X_n)$? In this paper, we give a necessary and sufficient condition so that, for given $n$ and $N$, the extendibility problem admits a solution. This is done by employing functional-analytic and measure-theoretic arguments that take into account the symmetry. We also address the problem of infinite extendibility. Our results are valid when $X_1$ has a regular distribution in a locally compact Hausdorff space $S$. We also revisit the problem of representation of the distribution of a finitely exchangeable sequence.

研究动机与目标

• 确定在局部紧豪斯多夫空间上，一个有限交换概率测度何时可延拓为更长或无限的交换序列。
• 通过表征表示此类分布的指导符号测度，将德·菲内蒂定理推广至有限交换情形。
• 利用对称线性泛函与测度论工具，解决交换序列的可延拓性问题。
• 为通过有界线性泛函在对称函数空间上的延拓，提供一个泛函分析框架，以实现有限交换律的延拓。

提出的方法

• 将可延拓性问题表述为在 $S^n$ 上有界可测函数空间上的对称线性泛函延拓问题。
• 引入 $k$-延拓泛函的概念，其保持对称性并映射到边缘分布的积分。
• 应用哈恩-巴拿赫定理，将定义在对角函数上的原始泛函延拓至整个对称函数空间。
• 利用里斯表示定理，当泛函为正且有界时，将其与 $S^N$ 上的概率测度关联。
• 采用集合函数与概率测度空间 $\mathscr{P}(S)$ 上的符号测度，表示 $n$-交换序列的分布。
• 建立可延拓性等价于存在满足延拓条件的对称、有界线性泛函的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部紧豪斯多夫空间上，$n$-交换概率测度在何种条件下可延拓为 $N$-交换测度（$N > n$）？
• RQ2 哪些特征刻画了表示有限交换序列的指导符号测度？它们在何种条件下可延拓？
• RQ3 是否存在有限交换律无限可延拓性的泛函分析准则？
• RQ4 哈恩-巴拿赫定理能否用于构造从对角函数上定义的对称泛函到整个对称函数空间的一致延拓？
• RQ5 指导符号测度的总变差在决定可延拓性中起什么作用？

主要发现

• $n$-交换律的 $N$-可延拓性的充要条件是：存在一个在有界可测函数空间上的对称、有界线性泛函，其延拓了由边缘分布定义的原始泛函。
• 可延拓性问题可归约为：在对称函数空间上存在一个正的、有界的线性泛函，其在对角函数上与边缘期望一致。
• 对于 $n=2$ 的情形，本文利用哈恩-巴拿赫定理显式构造了一个 $2$-延拓泛函，并证明其范数为 1，从而确保与边缘积分的一致性。
• 里斯表示定理保证：若该泛函为正，则其对应于 $S^N$ 上的概率测度，从而产生一个有效的 $N$-交换延拓。
• 表示 $n$-交换律的指导符号测度 $\nu$ 一般不唯一，但可延拓性取决于相关泛函的相容延拓的存在性。
• 本文表明，无限可延拓性等价于对所有 $N > n$ 存在一致的 $N$-延拓泛函序列，并基于泛函延拓与正性提供了相应的判别准则。