[论文解读] On the fast Khintchine spectrum in continued fractions

Aihua Fan, Lingmin Liao+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文完全确定了连分数中快速Khintchine谱的Hausdorff维数，该谱定义为[0,1)中满足归一化对部分商对数之和以超线性速率收敛于1的实数集合。研究证明该维数为$\frac{1}{1+b}$，其中$b = \limsup_{n\to\infty} \frac{\psi(n+1)}{\psi(n)}$，且无需对增长函数$\psi$施加额外条件，从而填补了先前研究中假设$\psi$具有正则性条件的空白。该结果在$\psi(n)/n \to \infty$且$\psi$等价于一个递增函数时成立。

ABSTRACT

For $x\in [0,1)$, let $x=[a_1(x), a_2(x),...]$ be its continued fraction expansion with partial quotients ${a_n(x), n\ge 1}$. Let $ψ: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{N}$ be a function with $ψ(n)/n o \infty$ as $n o \infty$. In this note, the fast Khintchine spectrum, i.e., the Hausdorff dimension of the set $$ E(ψ):=\Big{x\in [0,1): \lim_{n o\infty}\frac{1}{ψ(n)}\sum_{j=1}^n\log a_j(x)=1\Big} $$ is completely determined without any extra condition on $ψ$.

研究动机与目标

• 在$\psi(n)/n \to \infty$时，完全确定连分数中快速Khintchine谱$E(\psi)$的Hausdorff维数。
• 消除先前工作中所需的额外假设，如$\psi(n+1)/\psi(n) \to b$和$\psi(n) - \psi(n-1) \to \infty$。
• 通过基于Bernoulli测度和柱集估计的精细测度论方法，建立$E(\psi)$的Hausdorff维数的精确上界。
• 证明经改进的Jarník型集合$J^*_\beta$的维数恰好为$1/(2+\beta)$，其维数为经典Jarník集合$J_\beta$的一半。

提出的方法

• 在连分数展开的柱集上构造一族依赖于$\log a_j$和zeta函数$\zeta(t)$的Bernoulli型测度$\mu_t$。
• 利用Kolmogorov相容性定理将这些测度延拓为$[0,1)$上的概率测度，从而通过测度论覆盖论证实现维数估计。
• 应用伸缩级数估计方法，控制柱集$I_n(a_1,\dots,a_n)$的直径，证明在条件$a_{n+1} \geq q_n^\beta$下有$|I_n| \leq 1/q_n^{2+\beta}$。
• 通过在允许的柱集序列上求和，利用测度$\mu_{1+\epsilon/2}$控制总和大小，估计$E_N(\psi)$的$s$维Hausdorff测度。
• 建立上界$\dim_H E(\psi) \leq \frac{1+\epsilon}{2+\beta}$，并令$\epsilon \to 0$，得出$\dim_H E(\psi) \leq \frac{1}{2+\beta}$，随后进一步优化为$\frac{1}{1+b}$。
• 利用$E(\psi)$是$J^*_\beta$的子集这一事实，推断出$J^*_\beta$的精确维数为$1/(2+\beta)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\psi(n)/n \to \infty$时，集合$E(\psi) = \{x \in [0,1) : \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\psi(n)} \sum_{j=1}^n \log a_j(x) = 1\}$的Hausdorff维数是多少？
• RQ2 是否可以在不假设$\psi$具有正则增长条件（如$\psi(n+1)/\psi(n) \to b$和$\psi(n) - \psi(n-1) \to \infty$）的情况下，确定$E(\psi)$的维数？
• RQ3 集合$J^*_\beta = \{x \in J_\beta : \lim_{n\to\infty} \frac{\log q_n(x)}{n} = \infty\}$的精确Hausdorff维数是多少？
• RQ4 集合$J^*_\beta$的维数与经典Jarník集合$J_\beta$的维数相比如何？

主要发现

• 当$\psi$等价于一个递增函数且$\psi(n)/n \to \infty$时，$E(\psi)$的Hausdorff维数为$\frac{1}{1+b}$，其中$b = \limsup_{n\to\infty} \frac{\psi(n+1)}{\psi(n)}$。
• 该维数结果在无需先前研究[3]中要求的额外正则性假设（如$\psi(n+1)/\psi(n) \to b$和$\psi(n) - \psi(n-1) \to \infty$）的情况下依然成立。
• $E(\psi)$非空当且仅当$\psi$等价于一个递增函数；否则$E(\psi) = \emptyset$。
• $J^*_\beta = \{x \in J_\beta : \lim_{n\to\infty} \frac{\log q_n(x)}{n} = \infty\}$的Hausdorff维数恰好为$\frac{1}{2+\beta}$，为经典Jarník集合$J_\beta$维数的一半。
• 对$\dim_H E(\psi)$的上界估计是主要技术难点，通过新颖地应用Bernoulli测度和柱集直径估计得以解决。