[论文解读] On the Feasibility of Maintenance Algorithms in Dynamic Graphs

Arnaud Casteigts, Bernard Mans+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文证明，参数化近似中的W[1]-难解性意味着在动态图中不存在高效的维护算法——即使每一步允许使用指数时间。研究证明，r-正则子图问题由于W[1]-难解性而无法存在此类算法，而顶点覆盖问题则存在一个2-近似、1-局部的维护算法，表明固定参数可塑性是可维护性的必要条件但非充分条件。

ABSTRACT

Near ubiquitous mobile computing has led to intense interest in dynamic graph theory. This provides a new and challenging setting for algorithmics and complexity theory. For any graph-based problem, the rapid evolution of a (possibly disconnected) graph over time naturally leads to the important complexity question: is it better to calculate a new solution from scratch or to adapt the known solution on the prior graph to quickly provide a solution of guaranteed quality for the changed graph? In this paper, we demonstrate that the former is the best approach in some cases, but that there are cases where the latter is feasible. We prove that, under certain conditions, hard problems cannot even be approximated in any reasonable complexity bound --- i.e., even with a large amount of time, having a solution to a very similar graph does not help in computing a solution to the current graph. To achieve this, we formalize the idea as a maintenance algorithm. Using r-Regular Subgraph as the primary example we show that W[1]-hardness for the parameterized approximation problem implies the non-existence of a maintenance algorithm for the given approximation ratio. Conversely we show that Vertex Cover, which is fixed-parameter tractable, has a 2-approximate maintenance algorithm. The implications of NP-hardness and NPO-hardness are also explored.

研究动机与目标

• 确定在图随时间演变的动态图中，维护算法是否可行。
• 识别在不从头重新计算的情况下，如何高效地利用先前图状态的解来适应现有解的条件。
• 形式化参数化近似复杂性与维护算法存在性之间的关系。
• 根据是否支持高效的近似维护策略，对动态图问题进行分类。

提出的方法

• 将维护算法形式化为利用先前解的知识来更新变更图的解的方法。
• 使用参数化复杂性理论分析维护近似解的可 tractability。
• 证明：若参数化近似问题为W[1]-难解，则即使每步允许使用指数时间，也不存在维护算法。
• 证明r-正则子图问题在参数化近似下为W[1]-难解，因此排除了维护算法的存在。
• 通过维护最大匹配作为代理，构建顶点覆盖的一个1-局部、2-近似维护算法。
• 利用已知的核化和约化规则，为维护算法设定基线性能目标。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动态变化的图中，何时可以高效地更新先前图状态的解，以保持保证的近似质量？
• RQ2 若参数化近似问题为W[1]-难解，是否意味着即使每步更新允许使用指数时间，也不存在任何维护算法？
• RQ3 固定参数可塑问题如顶点覆盖，是否能在动态变化下支持高效的近似维护算法？
• RQ4 是否存在超越固定参数可塑性的结构性质，以促进或阻碍动态图中的维护？
• RQ5 在动态图问题的维护算法中，局部性和近似比如何相互作用？

主要发现

• 参数化近似问题的W[1]-难解性意味着，即使每步允许使用指数时间且总规模为多项式，也不存在任何维护算法。
• r-正则子图问题在参数化近似下为W[1]-难解，因此排除了该问题的所有维护算法。
• 顶点覆盖由于是固定参数可塑的，可通过维护最大匹配，实现一个1-局部的维护算法，其近似因子为2。
• 顶点覆盖的2-近似通过局部更新维持：在边删除后重新配对顶点，在边插入后添加新配对。
• 本文建立了参数化近似复杂性与维护算法可行性之间的强关联，表明FPT是可维护性的必要条件但非充分条件。
• 结果表明，可能存在更深层次的结构性质——可能与局部性或增量可约性有关——是有效维护算法存在的基础，超越标准复杂性类。