[论文解读] On the Field Theoretical Approach to the Anomalous Scaling in Turbulence

A. Runov|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文将场论方法应用于二维和无限维的随机纳维-斯托克斯方程，证明了存在无限多个具有负临界维数的伽利略不变复合算符。这支持了结构函数的异常标度行为，其中与能量耗散平方相关的最低维算符在首阶ε展开中被显式计算，显示在d=2时临界维数强烈为负，且当d→∞时趋于零。

ABSTRACT

Anomalous scaling problem in the stochastic Navier-Stokes equation is treated in the framework of the field theoretical approach, successfully applied earlier to the Kraichnan rapid advection model. Two cases of the space dimensions d=2 and d->infinity, which allow essential simplification of the calculations, are analysed. The presence of infinite set of the Galilean invariant composite operators with negative critical dimensions in the model discussed has been proved. It allows, as well as for the Kraichnan model, to justify the anomalous scaling of the structure functions. The explicit expression for the junior operator of this set, related to the square of energy dissipation operator, has been found in the first order of the epsilon-expansion. Its critical dimension is strongly negative in the two dimensional case and vanishes while d->infinity.

研究动机与目标

• 使用场论技术解决随机纳维-斯托克斯方程中的异常标度问题。
• 将此前在克雷奇南快速输运模型中取得成功的场论方法扩展至纳维-斯托克斯系统。
• 分析理论中复合算符的结构，特别是其临界维数。
• 建立存在无限多个具有负临界维数的伽利略不变复合算符的事实。
• 在ε展开中计算与能量耗散平方相关的最低维算符的临界维数。

提出的方法

• 采用此前用于克雷奇南模型的场论方法，分析随机纳维-斯托克斯方程。
• 聚焦于两个极限情形：d=2 和 d→∞，此时分析可得到简化。
• 识别在伽利略变换下不变的复合算符。
• 使用ε展开方法，微扰计算复合算符的临界维数。
• 计算与能量耗散率平方成正比的算符的临界维数。
• 证明在d=2时，该算符的临界维数强烈为负，且在d→∞极限下趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 此前用于克雷奇南模型的场论框架是否适用于随机纳维-斯托克斯方程？
• RQ2 在纳维-斯托克斯模型中，是否存在无限多个具有负临界维数的伽利略不变复合算符？
• RQ3 与能量耗散平方相关的最低维复合算符的临界维数是多少？
• RQ4 该算符的临界维数在二维与无限维极限下的行为如何？
• RQ5 此类算符的存在是否能解释湍流中的异常标度？

主要发现

• 在随机纳维-斯托克斯模型中，存在无限多个具有负临界维数的伽利略不变复合算符。
• 与能量耗散平方成正比的最低维算符（即“初级算符”）在二维空间中的临界维数强烈为负。
• 在d→∞极限下，该算符的临界维数趋于零，表明标度行为发生改变。
• 场论方法成功地为该模型中的异常标度提供了理论依据，类似于克雷奇南模型中的情况。
• 临界维数的显式计算在ε展开的首阶完成。
• 结果支持了物理解释：异常标度源于具有负临界维数的复合算符的存在。