[论文解读] On the final definition of the causal boundary and its relation with the conformal boundary

José Luis Flores, Jónatan Herrera+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文通过建立唯一且可接受的完备化，解决了强因果时空中因果边界（c边界）长期存在的不一致问题，该完备化满足点集、因果顺序和拓扑标准。证明了在一般条件下，c边界与共形边界的可及部分一致，调和了洛伦兹几何中两种关键方法的矛盾，并验证了两种边界作为时空分析中互补工具的有效性。

ABSTRACT

The notion of causal boundary $\partial M$ for a strongly causal spacetime $M$ has been a controversial topic along last decades: on one hand, some attempted definitions were not fully consistent, on the other, there were simple examples where an open conformal embedding $i:M\hookarrow M_{0}$ could be defined, but the corresponding conformal boundary $\partial_{i}M$ disagreed drastically with the causal one. Nevertheless, the recent progress in this topic suggests a definitive option for $\partial M$, which is developed here in detail. Our study has two parts: (I) To give general arguments on a boundary in order to ensure that it is admissible as a causal boundary at the three natural levels, i.e., as a point set, as a chronological space and as a topological space. Then, the essential uniqueness of our choice is stressed, and the relatively few admissible alternatives are discussed. (II) To analyze the role of the conformal boundary $\partial_{i}M$. We show that, in general, $\partial_{i}M$ may present a very undesirable structure. Nevertheless, it is well-behaved under certain general assumptions, and its accessible part $\partial_{i}^{*}M$ agrees with the causal boundary. This study justifies both boundaries. On one hand, the conformal boundary $\partial_{i}^{*}M$, which cannot be defined for a general spacetime but is easily computed in particular examples, appears now as a special case of the causal boundary. On the other, the new redefinition of the causal boundary not only is free of inconsistencies and applicable to any strongly causal spacetime, but also recovers the expected structure in the cases where a natural conformal boundary is available. The cases of globally hyperbolic spacetimes and asymptotically conformally flat ends are especially studied.

研究动机与目标

• 解决强因果时空中因果边界（c边界）定义的长期不一致问题，该问题曾阻碍其在广义相对论中的应用。
• 建立一个严格、唯一且可接受的时空完备化，满足三个自然标准：点集结构、因果顺序和拓扑。
• 澄清c边界与共形边界之间的关系，特别是在两者先前存在分歧的情况下。
• 证明在一般条件下，共形边界的可及部分（$\partial_i^*M$）与c边界一致，从而验证了两种构造的有效性。
• 证明c边界具有共形不变性、内在性，并适用于所有强因果时空，包括全局双曲时空和渐近共形平坦时空。

提出的方法

• 提出一个三级可接受性框架：点集结构、因果顺序和拓扑，以定义一致的c边界。
• 引入c边界的全新定义：即TIPs（TIPs）和TIFs（TIFs）等价类的集合，并采用改进的识别规则以解决过去-未来识别问题。
• 使用因果拓扑（chr-拓扑）和MR拓扑，比较因果曲线在完备化中收敛性和极限行为。
• 将可及共形边界 $\partial_i^*M$ 定义为共形边界中可通过类时曲线到达的部分，以确保与c边界的相容性。
• 分析具有 $C^1$ 和 $C^0$ 边界的例子，表明投影 $\pi: \partial M \to \partial_i M$ 并非总是良定义的，揭示了因果拓扑与共形拓扑之间的拓扑不匹配。
• 在因果拓扑中应用 $L$-算子和收敛性准则，以验证c边界中序列的极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有强因果时空建立唯一、一致且可接受的因果边界定义？
• RQ2 为何以往的因果边界定义在简单例子中无法与共形边界保持一致？
• RQ3 在何种条件下，共形边界的可及部分（$\partial_i^*M$）与因果边界一致？
• RQ4 为何在某些情况下，自然投影 $\pi: \partial M \to \partial_i M$ 无法良定义？
• RQ5 如何在全局双曲时空和渐近平坦时空中调和c边界与共形边界？

主要发现

• 所提出的c边界在小集合的替代下唯一确定，并满足所有三项标准：点集、因果顺序和拓扑可接受性。
• 在一般条件下，共形边界的可及部分 $\partial_i^*M$ 与c边界同构，尤其当共形边界为 $C^1$ 且强可及性成立时。
• 在具有 $C^1$ 或 $C^0$ 边界的例子中，投影 $\pi: \partial M \to \partial_i M$ 无法良定义，原因在于因果拓扑与共形拓扑中极限行为的不匹配。
• c边界正确地将类时点识别为裸奇点，以及过去/未来无穷远，与全局双曲时空中的物理预期一致。
• c边界具有共形不变性与内在性，因此可应用于所有强因果时空，包括那些无自然共形完备化的时空。
• 本研究验证了当共形边界存在且行为良好时，其可视为c边界的一个特例，从而解决了长期存在的概念张力。