[论文解读] On the fine structure of stationary measures in systems which contract-on-average

Matthew Nicol, Nikita Sidorov+1 more|ArXiv.org|May 22, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文為平均收缩的迭代函数系统（IFS）中不变测度的Hausdorff维数建立了上界，证明当熵小于d倍Lyapunov指数的绝对值时，该测度为奇异测度。通过在半群上应用随机游走理论，改进了维数估计，并表明在ℝ上的某些仿射映射中该上界是紧确的。

ABSTRACT

Suppose $\{f_1,...,f_m\}$ is a set of Lipschitz maps of $\mathbb{R}^d$. We form the iterated function system (IFS) by independently choosing the maps so that the map $f_i$ is chosen with probability $p_i$ ($\sum_{i=1}^m p_i=1$). We assume that the IFS contracts on average. We give an upper bound for the Hausdorff dimension of the invariant measure induced on $\mathbb{R}^d$ and as a corollary show that the measure will be singular if the modulus of the entropy $\sum_i p_i \log p_i$ is less than $d$ times the modulus of the Lyapunov exponent of the system. Using a version of Shannon's Theorem for random walks on semigroups we improve this estimate and show that it is actually attainable for certain cases of affine mappings of $\mathbb{R}$.

研究动机与目标

• 确定平均收缩的IFS中不变测度关于Lebesgue测度奇异的条件。
• 推导此类系统中平稳测度Hausdorff维数的上界。
• 利用半群上随机游走的Shannon定理的一个版本改进维数估计。
• 在ℝ上的仿射IFS特定情形下证明该上界是紧确的。
• 分析高维及非一致收缩系统中不变测度支撑集的结构。

提出的方法

• 定义一组Lipschitz映射{f₁,…,fₘ}与一个概率向量(p₁,…,pₘ)，通过独立选择生成映射的随机乘积。
• 使用平均收缩条件：∑pᵢ log‖fᵢ‖ < 0，确保极限映射φ:Ω→ℝᵈ和不变测度μ的存在性。
• 应用Perron-Frobenius算子Lψ(x) = ∑pᵢψ(fᵢx)定义平稳测度μ为乘积测度ν在φ下的像测度。
• 利用由映射生成的半群的组合性质，特别是约化字词的增长率，估计μ的Hausdorff维数。
• 借助半群上随机游走的Shannon定理的一个版本，精炼维数估计并证明在仿射情形下上界的紧确性。
• 分析具体例子，包括一维仿射IFS和含旋转与缩放的二维IFS，以验证理论边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 平均收缩IFS的不变测度在何种条件下关于Lebesgue测度奇异？
• RQ2 此类系统中不变测度的Hausdorff维数最优上界是什么？
• RQ3 能否在特定类别的仿射IFS中实现由熵与Lyapunov指数导出的维数上界？
• RQ4 在非一致收缩系统中，不变测度的支撑集行为如何，特别是当其在ℝᵈ中无界或充满时？
• RQ5 由映射生成的半群中的代数关系在精炼维数估计中起什么作用？

主要发现

• 对于ℝ上的一族特定单参数仿射IFS，不变测度μ的Hausdorff维数满足dimₕ(μ) ≤ log(2)/log(λ)，其中λ > 1。
• 对于映射f₁(x) = λ⁻¹x与f₂(x) = λ⁻¹x + 1 − λ⁻¹，且p₁ = p₂ = 1/2的IFS，当λ > 1.9277² ≈ 3.716时，测度μ为奇异测度。
• 在二维IFS中，当f₁(x) = Aₗ⁻¹x与f₂(x) = x + e，且Aₗ = λRₐ（Rₐ为无理旋转）时，测度μ在λ > 2时为奇异测度。
• 在二维例子中，对所有λ > 1，μ的支撑集为ℝ²（即supp(μ) = ℝ²），尽管当λ > 2时μ为奇异测度。
• 在二维例子中，当λ > 2时，有dimₕ(μ) < 2 log 2 / log λ < 2，表明测度严格低于二维。
• 半群中约化字词增长率的上界θ < 1.9277导出了紧确的奇异阈值，且生成元间存在无穷多个独立关系，暗示真实增长率可能更低，甚至可能低于1.7。