[论文解读] On the finite element approximation of a semicoercive Stokes variational inequality arising in glaciology

Gonzalo G. de Diego, Patrick E. Farrell+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Cryospheric studies and observations被引用 11

一句话总结

本文提出了一种带有拉格朗日乘子的混合有限元格式，用于求解冰川学中出现的半强制性Stokes变分不等式，该问题建模了具有接地线动力学的冰盖流动。通过引入一种新型的刚体模态投影算子以及Korn型不等式，即使在存在刚体模态的情况下，也能实现最优收敛率，数值实验结果通过制造解方法得到验证。

ABSTRACT

Stokes variational inequalities arise in the formulation of glaciological problems involving contact. We consider the problem of a two-dimensional marine ice sheet with a grounding line, although the analysis presented here is extendable to other contact problems in glaciology, such as that of subglacial cavitation. The analysis of this problem and its discretisation is complicated by the nonlinear rheology commonly used for modelling ice, the enforcement of a friction boundary condition given by a power law, and the presence of rigid modes in the velocity space, which render the variational inequality semicoercive. In this work, we consider a mixed formulation of this variational inequality involving a Lagrange multiplier and provide an analysis of its finite element approximation. Error estimates in the presence of rigid modes are obtained by means of a specially-built projection operator onto the subspace of rigid modes and a Korn-type inequality. These proofs rely on the fact that the subspace of rigid modes is at most one-dimensional. Numerical results are reported to validate the error estimates.

研究动机与目标

• 为冰川学中Stokes变分不等式的有限元离散化提供正式的数学分析，特别是涉及接地线和接触条件的情形。
• 克服由刚体模态（导致问题为半强制性）引起的挑战，以及非线性冰体本构关系和幂律摩擦边界条件的影响。
• 提出一种保持结构特性的混合有限元格式，利用拉格朗日乘子精确强制执行接触条件。
• 通过构造一种专门的投影算子并借助Korn型不等式，建立在存在刚体模态情况下的严格误差估计。

提出的方法

• 提出一种使用拉格朗日乘子的混合变分格式，以弱形式强制在接地线上实现接触条件，确保离散形式下非穿透约束的满足。
• 引入一种新型的刚体模态一维子空间上的投影算子，其满足误差分析中至关重要的Korn型不等式。
• 采用Orlicz空间理论和N-函数分析技术，处理变分不等式中冰体的非线性、非牛顿本构关系。
• 利用Fortin型算子构造方法，确保离散inf-sup条件的稳定性与一致有界性，这对收敛性至关重要。
• 应用加权Lebesgue空间与Sobolev空间中的最佳逼近误差估计，推导出速度、压力和拉格朗日乘子的收敛速率。
• 通过使用二次速度、分片常数压力与乘子的有限元格式，结合制造解方法，对理论结果进行数值验证。

Figure 1: Geometry of the problem under consideration. The domain $\Omega$ represents a half of a symmetric marine ice sheet. The boundary of $\Omega$ is partitioned into $\Gamma_{b}$ (the ice-bedrock interface), $\Gamma_{s}$ (the ice-ocean and ice-atmosphere interface), and $\Gamma_{d}$ (the symmet

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种有限元方法，以准确且稳定地离散化在海洋冰盖动力学中出现的半强制性Stokes变分不等式？
• RQ2 刚体模态在冰川学中接触问题有限元逼近的收敛行为中起什么作用？
• RQ3 能否构造一种作用于刚体模态上的投影算子，使其满足Korn型不等式，从而在半强制性问题中实现最优误差估计？
• RQ4 非线性本构关系与幂律摩擦条件如何影响有限元格式的收敛性？这些因素能否在混合格式中得到妥善处理？
• RQ5 与标准格式相比，采用拉格朗日乘子的混合格式在多大程度上改善了接地线位置的分辨率？

主要发现

• 构造了一种作用于一维刚体模态子空间的新投影算子，其满足Korn型不等式，从而在半强制性设置下实现误差估计。
• 在刚体模态空间至多为一维的假设下，证明了速度、压力和拉格朗日乘子在有限元逼近中的最优收敛率。
• 采用拉格朗日乘子的混合格式确保了接触条件在离散层面的精确强制，其精度仅受舍入误差影响，从而能够清晰区分附着区与脱离区。
• 通过使用二次速度与分片常数压力/拉格朗日乘子格式的数值实验，验证了对制造解的预测收敛速率。
• 该分析可推广至相关问题，如冰下空化现象，表明其在海洋冰盖之外也具有广泛适用性。
• 收敛性分析依赖于Orlicz连续性与N-函数技术，借鉴了文献[4, 29]中的方法，以处理非线性冰体本构关系。