[论文解读] On the finiteness of Bass numbers of local cohomology modules and Cominimaxness

Kamal Bahmanpour, Reza Naghipour+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了局部上同调模中 Bass 数的有限性及其与 $I$-cofinality 的关系。对于正则局部环 $R$，证明了对所有 $mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$，有 $mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 和 $mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 有限，并且当 $dim R/I = 2$ 时，$H^i_I(M)$ 具有有限 Goldie 维数。关键贡献在于一个刻画：当 $dim R/I = 2$ 时，$H^i_I(M)$ 的 Bass 数有限当且仅当 $H^i_I(M)$ 是 $I$-cofinal。

ABSTRACT

In this paper, we continue the study of cominimaxness modules with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring (cf. \cite{ANV}), and Bass numbers of local cohomology modules. Let $R$ denote a commutative Noetherian local ring and $I$ an ideal of $R$. We first show that the Bass numbers $μ^0(\frak p, H^2_I(R))$ and $μ^1(\frak p, H^2_I(R))$ are finite for all $\frak p\in \Spec R$, whenever $R$ is regular. As a consequence, it follows that the Goldie dimension of $H^2_I(R)$ is finite. Also, for a finitely generated $R$-module $M$ of dimension $d$, it is shown that the Bass numbers of $H^{d-1}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{d-1}_{I}(M))$ be minimax for all $i\geq0$. Finally, we prove that if $\dim R/I=2$, then the Bass numbers of $H^{n}_{I}(M)$ are finite if and only if $\Ext^i_R(R/I, H^{n}_{I}(M))$ be minimax, for all $i\geq0$, where $n$ is a non-negative integer.

研究动机与目标

• 研究诺特局部环 $R$ 上有限生成模 $M$ 的局部上同调模 $H^i_I(M)$ 中 Bass 数的有限性。
• 在局部上同调的背景下，扩展对 $I$-cofinal 模（cofinite 模的一般化）的研究。
• 提供局部上同调模中 Bass 数有限的条件，特别关注 $dim R/I = 2$ 的情形。
• 建立当 $dim R/I = 2$ 时，Bass 数有限性与 $H^i_I(M)$ 的 $I$-cofinality 之间的刻画关系。

提出的方法

• 使用局部上同调的定义 $H^i_I(M) = \varinjlim_n \operatorname{Ext}^i_R(R/I^n, M)$ 来分析模的结构。
• 通过 Z"{o}schinger 的等价条件，应用极小模（minimax modules）的概念——即具有 Artinian 商的有限生成子模。
• 采用 $I$-cofinal 模的概念：$operatorname{Supp}_R(M) \subseteq V(I)$ 且对所有 $i \geq 0$，有 $operatorname{Ext}^i_R(R/I, M)$ 是极小模。
• 利用结果：对有限生成 $R$-模 $M$（$dim M = d$），有 $H^1_{\mathfrak{m}}(H^{d-1}_I(M))$ 是 Artinian，从而控制 $H^{d-1}_I(M)$ 的结构。
• 利用同构 $H^i_I(M) \cong H^i_{I+\operatorname{Ann}_R(M)}(M)$ 将问题约化为 $dim R/I = 2$ 或 $3$ 的情形。
• 应用文献 [5] 中推论 2.10，将关联素理想的支撑限制在极大理想上，当 Bass 数无限时。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $R$ 是正则局部环且 $I$ 是 $R$ 的理想时，对所有 $mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$，Bass 数 $mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 和 $mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 是否有限？
• RQ2 对有限生成 $R$-模 $M$（$dim M = d$），$H^{d-1}_I(M)$ 的 Bass 数在何时有限？
• RQ3 当 $dim R/I = 2$ 时，$H^i_I(M)$ 的 Bass 数有限的精确条件是什么？
• RQ4 当 $dim R/I = 2$ 时，$H^i_I(M)$ 是 $I$-cofinal 当且仅当其 Bass 数有限吗？
• RQ5 当 $dim R/I = 2$ 时，对满足 $mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty$ 的素理想 $mathfrak{p}$ 的集合可作何结论？

主要发现

• 对于正则局部环 $R$，对所有 $mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R$，有 $mu^0(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 和 $mu^1(\mathfrak{p}, H^2_I(R))$ 有限，为 Huneke 猜想提供了部分验证。
• 当 $R$ 为正则环时，$H^2_I(R)$ 的 Goldie 维数有限，这是其 Bass 数有限的推论。
• 对有限生成 $R$-模 $M$（$dim M = d$），$H^{d-1}_I(M)$ 的 Bass 数有限当且仅当对所有 $i \geq 0$，有 $operatorname{Ext}^i_R(R/I, H^{d-1}_I(M))$ 是极小模。
• 当 $dim R/I = 2$ 时，$H^i_I(M)$ 的 Bass 数有限当且仅当 $H^i_I(M)$ 是 $I$-cofinal，从而建立了完整的刻画。
• 当 $dim R/I = 2$ 时，集合 $Sigma = \{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid \mu^j(\mathfrak{p}, H^i_I(M)) = \infty \text{ 对某个 } i,j\}$ 是可数的，且包含于 $operatorname{Max}(R)$ 中。
• 若 $mathfrak{m} \not\in \bigcup_{i \geq 0} \operatorname{Ass}_R(H^i_I(M))$，则在 $dim R/I = 2$ 的假设下，对所有 $j \geq 0$ 和 $i \geq 0$，有 $operatorname{Ext}^j_R(R/\mathfrak{m}, H^i_I(M))$ 是有限生成的。