[论文解读] On the formalisme of mixed sheaves

Morihiko Saito|ArXiv.org|Nov 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文提出了一套关于可嵌入ℂ的域上的代数簇的混合层的形式体系，构建了一个广义混合Hodge模与ℓ进层的混合动机层范畴。该研究建立了从有理Chow群到几何起源对象的导出范畴中Ext群的周期映射，并证明其满射性等价于Hodge型猜想，从而将动机上同调与Hodge理论联系起来。

ABSTRACT

We give a formalism of mixed sheaves on varieties over a subfield of the complex number field.

研究动机与目标

• 为数域上代数簇上的混合层建立一个形式体系，统一混合Hodge模与ℓ进层。
• 通过几何起源对象定义混合动机层范畴，与标准函子及到 perverse 层的遗忘函子相容。
• 建立从有理Chow群到几何起源混合层的导出范畴中Ext群的周期映射。
• 证明该周期映射的满射性等价于光滑射影簇的Hodge型猜想。
• 探讨该形式体系对Bloch猜想及动机上同调结构的影响。

提出的方法

• 在域k上的代数簇上定义A-混合层范畴，该范畴在对偶性、拉回、直接像及外部积下稳定，并存在到X(ℂ)上 perverse 层的遗忘函子。
• 构造混合层的有界导出范畴D^b(M(X))，该范畴在标准函子f_*, f_!, f^*, f^!, ψ_g, φ_g,1, D, ⊗, 和Hom下稳定，且与遗忘函子相容。
• 通过从Spec k上的常层Q^M出发，迭代应用标准函子并取子商，定义几何起源对象的全子范畴M(X)^go。
• 当A = ℚ时，将M(X)实现为带比较同构与极化条件的过滤正则整体D-模、X_σ(ℂ)上的ℚ-perverse层、X_σ(ℂ)上的ℚ_l-perverse层及过滤W，从而推广混合Hodge模与ℓ进层。
• 从有理Chow群CH^p(X)_Q构造自然的周期映射CH^p(X)_Q → Ext^{2p}_{D^b M(X)^go}(Q_X^M, Q_X^M(p))，映射到动机Ext群。
• 将该周期映射的满射性归约为Hodge型猜想，即绝对Hodge闭链是代数的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为数域上代数簇上的混合层建立一个统一混合Hodge模与ℓ进层的形式体系？
• RQ2 从有理Chow群到几何起源混合层的导出范畴中Ext群的周期映射是否满射？
• RQ3 该周期映射的满射性是否蕴含光滑射影簇在数域上的Hodge型猜想？
• RQ4 能否通过基变换将周期映射的单射性归约为复数域上的情形？
• RQ5 周期映射的满射性与Bloch猜想中高阶Chow群的关系为何？

主要发现

• 周期映射CH^p(X)_Q → Ext^{2p}_{D^b M(X)^go}(Q_X^M, Q_X^M(p))被构造并证明其满射性当且仅当k上所有光滑射影簇满足Hodge型猜想。
• 该周期映射的单射性可归约为X_ℂ上的周期映射的单射性，而后者因CH^p(X)_Q → CH^p(X_ℂ)_Q的单射性而成立。
• 当A = ℚ时，范畴M(X)可实现为过滤正则整体D-模、X_σ(ℂ)上的ℚ-perverse层、X_σ(ℂ)上的ℚ_l-perverse层及相容过滤W，满足比较同构条件。
• 几何起源对象的全子范畴M(X)^go满足混合层的所有公理，且猜想与混合动机层范畴等价。
• 在假设Hodge型猜想成立的前提下，维度≤ dim X时，周期映射(8.11.1)在n = dim X时的满射性可归约为d+1维情形的满射性。
• 在Hodge型猜想成立的假设下，当d ≥ dim X - 2时，(8.11.2)的单射性得以证明，其依据是p ≤ 1时Ext群中态射的满射性。