[论文解读] On the Formalist Theory of Arithmetic

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 1

一句话总结

本文提出了一种修改后的第一阶算术系统 S'，该系统将个体变量参数化，使其在任何解释下仅取值于被指派给数字符的个体。通过改编哥德尔的技巧，它在 S' 中构造了一个哥德尔句子 (x)R[x]，证明 S' 不一致；由于 S' 与标准算术 S 具有完全相同的语法结构，这表明标准皮亚诺算术本身也不一致。

ABSTRACT

This paper describes a system S' obtained by modifying first-order arithmetic to 'parameterise' the individual variables so that under any interpretation of S', the individual variables range over all and only the individuals assigned to the numerals under this interpretation. Since S' contains Peano arithmetic and is recursively axiomatised we can modify Goedel's technique to define a Goedel sentence for S', say (x)R[x]. S' may be shown to be inconsistent since (x)R[x] must be an S' theorem. Since the syntax of S' and S are identical however the inconsistency of S itself is implied by this result.

研究动机与目标

• 通过修改其变量解释机制来研究一阶算术的一致性。
• 探讨在算术系统中对变量进行参数化是否能揭示隐藏的不一致性。
• 将哥德尔的不完全性技巧适配到修改后的系统 S' 中，并推导出矛盾。
• 证明 S' 的不一致性意味着标准皮亚诺算术的不一致性，因为两者具有相同的语法结构。
• 通过语法和解释上的修改，挑战关于形式算术一致性的基础假设。

提出的方法

• 本文通过重新定义个体变量在个体上的取值范围，构建了一个修改后的系统 S'，将其限制为在任何解释下仅取值于被指派给数字符的个体。
• 表明 S' 包含皮亚诺算术，并且是递归公理化的，同时保持了一阶逻辑的语法结构。
• 利用哥德尔的技巧，在 S' 中定义了一个哥德尔句子 (x)R[x]，其形式类似于标准不完全性定理中的不可判定句子。
• 本文认为，由于参数化机制的存在，(x)R[x] 必须是 S' 中的定理，从而导致矛盾。
• 通过证明 S' 同时证明了 (x)R[x] 及其否定，系统被证明为不一致。
• 由于 S' 与标准算术 S 具有完全相同的语法结构，S' 的不一致性在逻辑上意味着 S 的不一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有参数化变量的修改后的一阶算术系统中，是否存在哥德尔式自指时会导致矛盾？
• RQ2 S' 与标准皮亚诺算术之间的语法相似性是否意味着 S' 的不一致性会影响原系统？
• RQ3 是否可能在 S' 中构造一个哥德尔句子，该句子由于参数化机制而必须为定理，从而违反一致性？
• RQ4 如果语法上与 S' 相同的系统被证明为不一致，这对皮亚诺算术的一致性意味着什么？
• RQ5 对变量在数字符上的参数化如何影响形式系统中自指命题的可导出性？

主要发现

• 系统 S' 被证明为不一致，因为根据其参数化规则，哥德尔句子 (x)R[x] 必须为定理。
• S' 的不一致性源于 (x)R[x] 必须可导出的要求，这与一致形式系统所应具备的性质相矛盾。
• 由于 S' 与标准皮亚诺算术具有完全相同的语法结构，S' 的不一致性意味着标准算术的不一致性。
• 在 S' 中构造 (x)R[x] 的过程遵循哥德尔的方法，但由于变量解释方式的修改，导致了矛盾。
• 该结果挑战了标准一阶算术一致性的基础假设，其依据是变量语义的微妙修改。
• 本文结论认为，作为标准系统体现的形式主义算术方法，当变量被参数化时，可能本质上就是不一致的。